Kapitel 3
Die spezielle Relativitätstheorie

2  Die Exponentialdarstellung der Lorentztransformationen

Wir hatten uns im letzten Abschnitt mit affinen Transformationen f(x) = L x + d befasst und gefordert, dass Teilchen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, sich auch nach der Transformation weiter mit Lichtgeschwindigkeit bewegen müssen.

Wir konnten diese Forderung umformulieren in die Forderung, dass die Matrix L lichtartige Vierervektoren auf lichtartige Vierervektoren abbildet, d.h. wenn ein Vierervektor b die Beziehung g(b,b) = 0 erfüllt, so muss auch der Vierervektor L b die Beziehung g(L b,L b) = 0 erfüllen.

In den Physikbüchern wird allerdings normalerweise eine andere Forderung erhoben. Es wird gefordert, dass die Matrix L die Metrik g invariant läßt, d.h. es wird g(a,b) = g(L a, L b) für beliebige Vierervektoren des Minkowskiraums gefordert. Die zugehörigen Transformationen f(x) = L x + d werden als Poincare-Transformationen bezeichnet. Für d = 0 bezeichnet man sie auch als Lorentz-Transformationen.

Wenn g(a,b) = g(L a, L b) gilt, so folgt natürlich für Vierervektoren mit der Eigenschaft g(b,b) = 0 sofort, dass auch g(L b,L b) = 0 ist. Die Bedingung g(a,b) = g(L a, L b) umfasst also die Bedingung, dass lichtartige Vierervektoren auf lichtartige Vierervektoren abgebildet werden müssen.

Die Bedingung, dass lichtartige Vierervektoren auf lichtartige Vierervektoren abgebildet werden, ist also allgemeiner als die Bedingung, dass die Metrik invariant sein soll. Es könnte also Transformationen geben, die lichtartige Vierervektoren auf lichtartige Vierervektoren abbilden, die aber die Metrik nicht invariant lassen. Wir wollen herausfinden, ob das so ist und wie der Zusammenhang zwischen unserer Bedingung und der Physiklehrbuch-Bedingung ist.

Versuchen wir zu ermitteln, welche Form die Matrix L hat. Wir wollen also eine geeignete Parametrisierung für L finden. Dabei könnten wir versuchen, analog zu unserer Untersuchung der Galileigruppe vorzugehen. Man gelangt auf diese Weise allerdings zu recht unübersichtlichen Formeln, und wir werden daher hier einen anderen Weg einschlagen.

Wir beschränken uns zunächst auf Matrizen L, die stetig mit der Einheitsmatrix zusammenhängen. Anschaulich ist damit folgendes gemeint:

Man beginnt mit der Einheitsmatrix 1, die die Raum-und Zeitkoordinaten noch überhaupt nicht ändert. Nun verändert man die Matrixkomponenten in stetiger Weise, und zwar so, dass die sich verändernde Matrix immer unsere Bedingung erfüllt. Die Matrix wird also die Raum- und Zeitkoordinaten immer mehr verändern. Physikalisch kann man sich vorstellen, dass ein Zug langsam beschleunigt wird, bis er die gewünschte Geschwindigkeit erreicht hat, oder dass ein Experiment langsam im Raum gedreht wird, bis der gewünschte Drehwinkel erreicht ist.

Um diese Idee mathematisch zu präzisieren, benötigen wir die sogenannte Exponentialabbildung für Matrizen. Sie ist in Analogie zur Reihenentwicklung der bekannten e-Funktion definiert:


exp(X) = ¥
å
k = 0 
Xk
k!
= 1 + X + 1
2
XX + 1
2 ·3
XXX + ¼

Dabei ist k! = k ·(k-1) ·¼·2 ·1 (sprich k-Fakultät) und X ist eine relle Matrix (mit gleich viel Zeilen wie Spalten, also eine n ×n -Matrix). Mit Xk meinen wir das k-fache Matrixprodukt von X mit sich selbst, wobei X0 = 1 die Einheitsmatrix sein soll.

Man kann zeigen, dass die obige Reihe für jede n ×n -Matrix gegen eine n ×n -Matrix konvergiert. Die Abbildung ist also wohldefiniert. Für den Beweis möchte ich auf die im Anhang aufgeführten Lehrbücher und Skripte verweisen (z.B. das Buch von Schottenloher).

Wir wollen nun eine geeignete Matrix X vorgeben (was geeignet bedeutet, sehen wir später) und den Ansatz


L(l) = exp(lX)

machen, wobei l ein reller Parameter ist. Die Matrix L hängt also nur von einem reellen Parameter ab, nämlich von l (die Matrix X wird ja fest vorgegeben). Die Abhängigkeit von dem Parameter ist stetig und sogar beliebig oft differenzierbar. Man kann sich vorstellen, wie sich die Matrix L bei Änderungen des Parameters l gemäß der obigen Formel stetig-differenzierbar mitändert. Für l = 0 ist dabei L = 1 (also die Einheitsmatrix).

Die Menge der Matrizen L(l) = exp(lX) bildet eine sogenannte einparametrige Untergruppe der Matrizen Die Matrix X wird dabei als Generator der Untergruppe bezeichnet. Der Begriff einparametrige Untergruppe bedeutet dabei, dass neben den Gruppenaxiomen zusätzlich L(l1L(l2) = L(l1+l2) sowie L(0) = 1 gilt. Für den Nachweis dieser Beziehungen benötigt man die Formel exp(X) exp(Y) = exp(X+Y), die erfüllt ist, wenn die Matrizen X und Y kommutieren (also XY = YX).

Man kann nun zeigen, dass jede einparametrige Untergruppe der Matrizen in der obigen Form geschrieben werden kann.

Der Beweis geht so:
Man startet mit einer beliebigen vorgegebenen einparametrigen Gruppe von Matrizen A(l) und verwendet, dass für einparametrige Gruppen per Definition A(l1) A(l2) = A(l1+l2) sowie A(0) = 1 gelten muss (man wählt die Parametrisierung entsprechend). Nun leitet man nach dem Parameter ab:


d
d l
A(l) =
lim
t® 0 
A(l+t)-A(l)
t
=

=
lim
t® 0 
A(l) A(t)-A(l)
t
=

= A(l
lim
t® 0 
A(t)-1
t
=

= A(l d
d l
A(0)

Aus dem Eindeutigkeitssatz für Differentialgleichungen erster Ordnung folgt für die Anfangsbedingung A(0) = 1, dass


A(l) = exp(l  d
d l
A(0))

sein muss. Die Matrix ist also zwangsläufig von der gewünschten Form, wobei X = dA(0)/d l zu setzen ist.

Wir wollen nun erreichen, dass die Matrizen L = exp(lX) für jeden Wert von l unsere Bedingung erfüllen, d.h. dass sie lichtartige Vierervektoren in lichtartige Vierervektoren umwandeln. Es werden also nur bestimmte Matrizen X übrig bleiben.

Starten wir also mit lichtartigen Vektoren b. Für diese Vektoren gilt g(b,b) = (b0)2 - b2 = 0. Wenn wir b = be schreiben (d.h. b = |b|) sowie e = ±1 , so lässt sich jeder lichtartige Vierervektor b schreiben als


b = b  æ
ç
è
e
e
ö
÷
ø

(sorry, dass b einmal den Vierervektor und einmal den Betrag von b bezeichnet, aber ich hoffe, der Leser kann immer aus dem Zusammenhang erschließen, was gemeint ist). Für Vektoren dieser Form soll nun gelten:


g(L b,L b) = bT LT g  L  b = bT exp(lXT)  g  exp(lX)  b = 0

Wir können diese Gleichung an der Stelle l = 0 nach l ableiten:


d
d l
 (bT exp(lXT)  g  exp(lX)  b) |l = 0 = bT XT g  b + bT g  X  b = 0

Wir wollen die Komponenten der Matrix X in der Form
X = æ
ç
è
k
d
a
K
ö
÷
ø
schreiben. Dabei ist k eine reelle Zahl, a und b sind dreikomponentige Vektoren und K ist eine reelle 3 ×3 -Matrix. Nun können wir die Gleichung bT XT g b + bT g X b = 0 in Komponenten auswerten. Eine kleine Rechnung ergibt


bT XT g b + bT g X b = b2  (2k + 2ee(d - a) - eT (K+KT)e) = 0

Wir können nun in dieser Gleichung den Wert e = 1 sowie den Wert e = -1 einsetzen. Zusätzlich können wir noch durch b2 dividieren. Es ergeben sich die beiden Gleichungen


2k + 2 e(d - a) - eT (K+KT)e = 0       (1)

2k - 2 e(d - a) - eT (K+KT)e = 0       (2)

Wir addieren bzw. subtrahieren die beiden Gleichungen voneinander und erhalten


4k -eT (K+KT)e) = 0       (A1)

e(d - a) = 0       (B1)

Da beide Gleichungen für beliebige Einheitsvektoren e gelten müssen, folgt


K+KT = 2k  1       (A2)

d = a       (B2)

Die Gleichung (A2) können wir noch etwas umschreiben, indem wir die Matrix K als K = k 1+G schreiben (dies definiert die Matrix G eindeutig). Dann folgt K+KT = (k 1+G)+(k 1+G)T = 2k 1 + G + GT = 2k  1 und somit


GT = -G

Die Matrix G ist also eine sogenannte schiefe Matrix.

Damit ist die Matrix X von der Form


X = æ
ç
è
k
a
a
k 1+G
ö
÷
ø
= k  1 + æ
ç
è
0
a
a
G
ö
÷
ø
      mit      GT = -G

Dabei bezeichnet der erste Term die 4 ×4 -Einheitsmatrix, multipliziert mit k.

Unser Ergebnis für L lautet also


L = exp  æ
ç
è
l k 1 + l  æ
ç
è
0
a
a
G
ö
÷
ø
ö
÷
ø
      mit      GT = -G

Betrachten wir die speziellen Matrizen L, bei denen a und G gleich Null sind, also


L = exp(l k 1) = 1  elk

Die Raum-Zeit-Transformation würde also einfach nur die Raum- und die Zeitachsen um den Faktor elk dehnen bzw. stauchen (aber nicht spiegeln). Die Geschwindigkeit eines fliegenden Teilchens würde sich dadurch nicht ändern, denn der Faktor geht in gleicher Weise in Raum- und Zeitdifferenzen ein und kürzt sich daher in der Geschwindigkeit heraus.

Überlegen wir, wie diese spezielle Raum-Zeit-Transformation zu interpretieren ist, wenn sie eine physikalische Symmetrietransformation wäre. Bei einer geradlinig gleichförmigen Bewegung ist die Interpretation einfach. Angenommen, das gleichförmig fliegende Teilchen befindet sich zur Zeit Null am Ort Null (also im Ursprung des Koordinatensystems) und zur Zeit t am Ort x. Nun lassen wir die Transformation wirken. Dann würde sich das Teilchen zur Zeit Null immer noch im Ursprung befinden, aber zur Zeit at muss es sich am Ort ax befinden (mit a = elk). Das ist eine physikalisch mögliche Bewegung. Es ist sogar genau dieselbe geradlinig-gleichförmige Bewegung wie vorher! Übrigens bedeuten die Zeit Null und den Ort Null keine Einschränkung, da die Poincaregruppe ja immer zunächst eine Raum-Zeit-Verschiebung ermöglicht, die dafür sorgt, dass das Teilchen zur Zeit Null im Ursprung des Koordinatensystems ist.

Interessante Informationen können wir also nur gewinnen, wenn wir über die Betrachtung geradlinig-gleichförmiger Bewegungen hinausgehen und beispielsweise den Zusammenstoß zweier Teilchen im Detail betrachten. Wir werden später noch einmal auf diese merkwürdigen Abbildungen zurückkommen, wenn die Voraussetzungen dafür geschaffen sind.

Für den Moment wollen wir jedoch (ohne Begründung) die Abbildungen der Form L = 1  elk aus unserer Betrachtung ausschließen, d.h. die Gruppe der L-Matrizen soll keine solchen Abbildungen enthalten.

Unser Ergebnis lautet also:

Wenn L aus lichtartigen Vierervektoren wieder lichtartige Vierervektoren macht (d.h. für g(b,b) = 0 ist g(L b, L b) = 0 erfüllt), wenn die Menge der Matrizen L weiterhin eine einparametrige Untergruppe der Matrizen bildet (d.h. L ist von der Form L = exp(lX)), und wenn diese Untergruppe keine Elemente der Form Einheitsmatrix mal Parameter (also L = 1 a mit a > 0) enthält, dann hat L die Form


L = exp  æ
ç
è
l  æ
ç
è
0
a
a
G
ö
÷
ø
ö
÷
ø
      mit      GT = -G

Können wir unsere obige Forderung vielleicht durch die Standardforderung g(a,b) = g(L a, L b) aus den Physiklehrbüchern ersetzen? Versuchen wir es:

Wir starten wieder mit dem Ansatz L = exp(lX) und sehen, welche Form die Matrix X haben muss, damit g(a,b) = g(L a, L b) erfüllt ist. Dazu schreiben wir die Bedingung erst einmal in Matrixform um. Es ist g(a,b) = aT g  b und g(L a, L b) = (L a)T g  (L b) = aT LT g  L b. Es muss also aT g  b = aT LT g  L b für beliebige Vierervektoren a und b gelten. Damit folgt, dass L die Bedingung


g = LT g  L

erfüllen muss. Wieder setzen wir den Ansatz L = exp(lX) ein und leiten nach l an der Stelle l = 0 ab. Es folgt die Gleichung


XT g + g X = 0

Gilt auch die Umkehrung? Reicht die Bedingung XT g + g X = 0 zusammen mit dem Ansatz L = exp(lX) aus, um g = LT g  L zu garantieren? Rechnen wir nach:


d
dl
LT g  L = LT XT g  L + LT g  X  L = LT (-g X)  L + LT g  X  L = 0

mit der Anfangsbedingung L = 1 für l = 1. Der Wert des Ausdrucks LT g  L ändert sich also mit fortschreitendem l nicht, wenn XT g + g X = 0 gilt. Er ist insbesondere gleich dem Wert für l = 1, d.h. LT g  L = g. Die Umkehrung gilt also!

Was bedeutet nun die Gleichung XT g + g X = 0 für die Komponenten von X ? Setzen wir die Komponentendarstellung von X in die Gleichung XT g + g X = 0 ein (wobei wir gleich G statt K schreiben; dies ist ja nur eine Umbenennung). so ergibt sich


æ
ç
è
k
a
d
GT
ö
÷
ø
  æ
ç
è
1
0
0
-1
ö
÷
ø
+ æ
ç
è
1
0
0
-1
ö
÷
ø
æ
ç
è
k
d
a
G
ö
÷
ø
= æ
ç
è
2k
d-a
d-a
-(G+GT)
ö
÷
ø
= 0

d.h. wir erhalten die Bedingungen a = d sowie k = 0 und G+GT = 0. Damit hat X genau die Form, die oben erhalten haben, wenn wir die Raum-Zeit-Streckungen ausschließen.

Wir sehen also:

Wenn wir Matrizen L aus einer einparametrigen Untergruppe der Menge aller Matrizen betrachten (d.h. L ist von der Form L = exp(lX)), so sind die folgenden beiden Forderungen gleichwertig:

  1. L bildet lichtartige Vierervektoren auf lichtartige Vierervektoren ab (d.h. für g(b,b) = 0 ist g(L b, L b) = 0 erfüllt), und die Untergruppe enthält keine Elemente der Form Einheitsmatrix mal Parameter (also L = 1 a mit a > o).
  2. L erfüllt die Beziehung g(a,b) = g(L a,L b) für alle Vierervektoren a und b.

Beide Forderungen bewirken, dass L die Form
L = exp  æ
ç
è
l  æ
ç
è
0
a
a
G
ö
÷
ø
ö
÷
ø
      mit      GT = -G
haben muss.

Wir können nun verschiedene Matrizen X vorgeben und erhalten so verschiedene Untergruppen. Insgesamt enthält die Matrix X sechs freie Parameter: die drei Komponenten des Vektors a sowie die drei Parameter der Matrix G (wegen der Bedingung GT = -G können bei G nur drei Komponenten frei vorgegeben werden).

Der Parameter l ist kein zusätzlicher freier Parameter, denn er kann in die Matrix X mit hineingezogen werden, indem wir Xneu: = lX definieren. Die Matrix Xneu ist dann immer noch von der oben angegebenen Form. Den Index neu lassen wir wieder weg, so dass wir L auch direkt in der Form


L = exp  æ
ç
è
0
a
a
G
ö
÷
ø
      mit      GT = -G

schreiben können. Die Parameter sind nun alle in der Matrix enthalten.

In den folgenden zwei Abschnitten wollen wir nun zwei wichtige Fälle unterscheiden.

Wir wollen einmal den Fall G = 0 betrachten, der uns zu den sogenannten Geschwindigkeitstransformationen oder Boost führt.

Dann werden wir den Fall a = 0 untersuchen und feststellen, dass wir so die Drehungen im dreidimensionalen Raum erhalten.


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