Kapitel 3
Die spezielle Relativitätstheorie

3  Boosts

Wir hatten im letzten Abschnitt die Darstellung


L = exp  æ
ç
è
0
a
a
G
ö
÷
ø
      mit      GT = -G

für die Matrizen der Poincaretransformationen hergeleitet.

In diesem Abschnitt betrachten wir nun den Spezialfall G = 0. Wir wollen diese speziellen Transformationen als Boosts bezeichnen.

Den Vektor a schreiben wir in der Form a = ae mit a = |a| und |e| = 1. Wir können den Einheitsvektor e fest vorgeben und betrachten a als Parameter. Dann ist


Lb = exp  æ
ç
è
a  æ
ç
è
0
e
e
0
ö
÷
ø
  ö
÷
ø
= : exp(aXb)

(der Index b bei Lb und Xb steht dabei für Boost).

Die Matrix Xb hängt von dem Einheitsvektor e ab. Insgesamt können wir also drei linear unabhängige Matrizen Xb,i vorgeben, wobei wir für ei den i-ten Einheitsvektor nehmen. Jede Matrix Xb kann als Linearkombination aus den drei Xb,i gebildet werden. Man bezeichnet die Xb,i auch als die Generatoren der Gruppe der Boosts.

Die exp-Funktion war über eine unendliche Reihe definiert. In den einzelnen Termen dieser Reihe muss die Matrix Xb mehrfach mit sich selbst multipliziert werden. Daher wollen wir sehen, was bei der Multiplikation von Xb mit sich selbst herauskommt:


Xb2 = æ
ç
è
0
e
e
0
ö
÷
ø
  æ
ç
è
0
e
e
0
ö
÷
ø
= æ
ç
è
1
0
0
e eT
ö
÷
ø
= : F

(so definieren wir also die Matrix F). Dabei steht e eT für die Matrix mit den Komponenten ei ej. Analog rechnet man nach, dass Xb3 = F Xb = Xb ist.

Es ist also


Xbn = F       für gerade n mit  n ³ 2

Xbn = Xb       für ungerade n

Damit kann man die unendliche Reihe in mehrere Teilreihen aufteilen, eine für gerade n und eine für ungerade n. Die geraden n schreiben wir als n = 2i und die ungeraden n als n = 2i+1. In der Reihe für gerade n schreiben wir den Term für n = 0 so um, dass sich die Matrix F ausklammern lässt, also Xb0 = 1 = F + (1-F). Dann ist


Lb = exp(aXb) = ¥
å
n = 0 
an
n!
Xbn =

= ¥
å
i = 0 
a2i
(2i)!
Xb2i + ¥
å
i = 0 
a2i+1
(2i+1)!
Xb2i+1 =

= æ
ç
è
¥
å
i = 0 
a2i
(2i)!
F + (1-F) ö
÷
ø
+ ¥
å
i = 0 
a2i+1
(2i+1)!
Xb =

= (cosh a) F + (1-F) + (sinh a) Xb =

= æ
ç
è
(cosh a)
(sinh ae
(sinh ae
(1 + ((cosh a)-1) e eT)
ö
÷
ø

Dabei haben wir die bekannten Reihendarstellung für die Funktionen Sinus-Hyperbolicus (sinh) und Cosinus-Hyperbolicus (cosh) verwendet. Zwischen diesen beiden Funktionen gilt die Beziehung (cosha)2 - (sinha)2 = 1 .



Darstellung der Funktionen cosh und sinh.

Den Parameter a bezeichnet man auch als Rapidität.

Ein Beispiel: für den Spezialfall, dass e der Einheitsvektor in x-Richtung ist (also e = (1,0,0)) liefert die obige Formel


Lb = æ
ç
ç
ç
ç
è
cosh a
sinh a
0
0
sinh a
cosh a
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
ö
÷
÷
÷
÷
ø

Das folgende Bild stellt dar, wie sich diese Abbildung auf die Einheitsvektoren in Zeitrichtung und in die x-Raumrichtung auswirkt:



Dieses Diagramm zeigt, wohin die Punkte (ct,x1) = (1,0) bzw. (ct,x1) = (0,1) bei verschiedenen Werten von a durch den Boost abgebildet werden. a wurde dabei vom Wert 0 in Schritten von 0,1 bis zum Wert 1,5 erhöht. Die Punkte rechts oben entsprechen also dem Wert a = 1,5.

Was bewirken die Boosts nun in Raum und Zeit?

Betrachten wir dazu ein ruhendes Teilchen, dessen Bewegung in Raum und Zeit wir durch die Gerade x = a + bs mit


b = æ
ç
è
1
0
ö
÷
ø

darstellen können. Wir hatten im letzten Abschnitt gesehen, dass die Geschwindigkeit des Teilchens gegeben ist durch v = c b/b0 = 0.

Nun lassen wir den Boost auf Raum und Zeit wirken. Aus dem Vektor b wird dann der Vektor


Lb b = æ
ç
è
(cosh a)
(sinh ae
(sinh ae
1 + ((cosh a)-1) e eT
ö
÷
ø
æ
ç
è
1
0
ö
÷
ø
= æ
ç
è
cosh a
(sinh ae
ö
÷
ø

Wie wir im letzten Abschnitt gesehen haben, sind die Geschwindigkeitskomponenten nach der Transformation gegeben durch vk = c (Lb  b)k/(Lb  b)0 . Also ist


v = c  (sinh ae
cosh a
= c  (sinh a)
cosh a
 e

Das ist die Geschwindigkeit, die ein ruhendes Teilchen nach dem Boost aufweist. Ein Boost setzt also Teilchen in Bewegung!

Wie schnell kann ein Teilchen durch einen Boost werden? Rechnen wir es aus:


v2 = c2 (sinh a)2
(cosh a)2
= c2 (cosh a)2 - 1
(cosh a)2
= c2 æ
ç
è
1 - 1
(cosh a)2
ö
÷
ø
< c2

Wie die Formel zeigt, kann das Teilchen die Lichtgeschwindigkeit nicht überschreiten.



Geschwindigkeit v/c in Abhängigkeit von der Rapidität a

Analog zur üblichen physikalischen Literatur wollen wir die folgende Abkürzung einführen:


g: = cosh a

Wegen der Eigenschaften der Funktion cosh ist g ³ 1.

Wir wollen im Folgenden die sogenannte Boostgeschwindigkeit u definieren durch


u = sinh a
cosh a
 e = æ
ç
è
1 - 1
g2
ö
÷
ø
 e

Sie gibt die Geschwindigkeit nach dem Boost in Anteilen der Lichtgeschwindigkeit an. Dabei ist der Betrag der Boostgeschwindigkeit immer kleiner als eins. Natürlich lässt sich g nun auch durch u ausdrücken:


g =   æ
 ú
Ö

1
1-u2
 

Weiterhin ist


sinha =
Ö
 

(cosha)2-1
 
=
Ö
 

g2-1
 
= u g

mit u = |u|

Wir können damit statt der Rapidität a e auch die Boostgeschwindigkeit u = u e als Parameter für die Boost nehmen. Es ergibt sich:


Lb = æ
ç
è
g
gu
gu
1+(g-1)e eT
ö
÷
ø

Allerdings gilt für diese Darstellung die Einschränkung, dass der Parameter u aus dem Bereich -1 < u < 1 sein muss, da u über die Beziehung u = (sinh a)/(cosh a) mit der Rapidität a zusammenhängt. Außerdem gilt nur für die Rapidität a die Beziehung Lb(a1Lb(a2) = Lb(a1+a2).

Damit wollen wir die Betrachtung der Boosts beenden und uns den Drehungen zuwenden.


zurück zum Inhaltsverzeichnis