Kapitel 3
Die spezielle Relativitätstheorie

4  Drehungen

Kehren wir zurück zur Gleichung


L = exp  æ
ç
è
0
a
a
G
ö
÷
ø
      mit      GT = -G

Betrachten wir nun den Fall a = 0. Wie wir noch sehen werden, haben wir hier die Drehungen im dreidimensionalen Raum vor uns. Wir wollen daher jetzt schon diese speziellen Transformationen als Drehungen bezeichnen und diesen Begriff später rechtfertigen.

Dabei wollen wir versuchen, möglichst analog zum letzten Abschnitt (Boosts) vorzugehen.

Zunächst wissen wir, dass die Matrix G die Beziehung GT = -G erfüllt, d.h. sie ist von der Form


G = æ
ç
ç
ç
è
0
-w3
w2
w3
0
-w1
-w2
w1
0
ö
÷
÷
÷
ø

(die Koordinatenindices wollen wir in diesem Abschnitt zur Vereinfachung unten schreiben, da wir nur räumliche Indices betrachten). Die Matrix G hängt also von drei Parametern ab.

Wenn wir uns die Wirkung von G auf einen dreidimensionalen Vektor x anschauen, so stellen wir fest, dass die Wirkung die eines Kreuzproduktes zwischen einem Vektor w = (w1,w2,w3) und dem Vektor x ist:


x = w ×x

Den Vektor w schreiben wir in der Form w = we mit w = |w| und |e| = 1. Wir können den Einheitsvektor e wieder fest vorgeben und betrachten w als Parameter.

Genauso wie wir aus dem Vektor w die Matrix G aufbauen können, so können wir aus dem Vektor e eine Matrix A aufbauen. Für diese Matrix gilt: G = wA mit A x = e ×x.

Dann ist


Lr = exp  æ
ç
è
w  æ
ç
è
0
0
0
A
ö
÷
ø
  ö
÷
ø
= : exp(wXr)

(der Index r bei Lr und Xr steht dabei für Rotation).

Die Matrix Xr enthält als Untermatrix die Matrix A und hängt somit von dem Einheitsvektor e ab. Somit können wir wieder drei linear unabhängige Matrizen Xr,i vorgeben, wobei wir für ei den i-ten Einheitsvektor nehmen. Jede Matrix Xr kann als Linearkombination aus den drei Xr,i gebildet werden. Man bezeichnet die Xr,i (bzw. die entsprechenden Matrizen Ai) auch als die Generatoren der Drehgruppe.

Wieder benutzen wir, dass die exp-Funktion über eine unendliche Reihe definiert ist, und untersuchen dazu zunächst, was bei der Multiplikation von Xr mit sich selbst herauskommt:


Xr2 = æ
ç
è
0
0
0
A
ö
÷
ø
  æ
ç
è
0
0
0
A
ö
÷
ø
= æ
ç
è
0
0
0
A2
ö
÷
ø
= : F

(die so definierte Matrix F ist natürlich nicht dieselbe wie bei den Boosts). Wie sieht die Matrix A2 aus? Erinnern wir uns, dass A x = e ×x ist. Dann ist A A x = e ×(e ×x) = (ex)e - x oder in Komponenten (A A x)i = åj = 13 (eiej-dij)Xj . Dabei ist dij das bekannte Kroneckersymbol, d.h. dij = 1 für i = j und dij = 0 sonst. Mit ei bezeichnen wir die Komponenten des dreidimensionalen Einheitsvektors. Die Komponenten der Matrix A2 sind also gegeben durch


(A2)ij = eiej-dij

Berechnen wir nun A3. Es ist A3 x = A (A2 x) = e ×((ex)e - x) = - e ×x = -Ax wegen e ×e = 0. Also ist


Xr3 = -Xr

Gehen wir weiter: A4 = A A3 = A (-A) = -A2 und somit


Xr4 = -F

Zusammengefasst haben wir also:


Xrn = (-1)(n-2)/2 F       für gerade n mit  n ³ 2

Xrn = (-1)(n-1)/2 Xr       für ungerade n

Damit kann man die unendliche Reihe wieder in mehrere Teilreihen aufteilen, eine für gerade n und eine für ungerade n. Die geraden n schreiben wir wie vorher als n = 2i und die ungeraden n als n = 2i+1. Wie gehabt schreiben wir in der Reihe für gerade n den Term für n = 0 so um, dass sich die Matrix F ausklammern lässt, also Xr0 = 1 = -F + (1+F). Dann ist


Lr = exp(wXr) = ¥
å
n = 0 
wn
n!
Xrn =

= ¥
å
i = 0 
w2i
(2i)!
Xr2i + ¥
å
i = 0 
w2i+1
(2i+1)!
Xr2i+1 =

= æ
ç
è
¥
å
i = 0 
(-1)i+1 w2i
(2i)!
F + (1+F) ö
÷
ø
+ ¥
å
i = 0 
(-1)i w2i+1
(2i+1)!
Xr =

= -(cos w) F + (1+F) + (sin w) Xr =

Dabei haben wir die bekannten Reihendarstellung für die Funktionen Sinus (sin) und Cosinus (cos) verwendet. Zwischen diesen beiden Funktionen gilt die bekannte Beziehung (cos w)2 + (sin w)2 = 1 .

Die Matrix wollen wir hier nicht ausschreiben, da die Formel recht kompliziert wird. Interessanter ist die Wirkung auf einen Vektor x = (ct,x):


Lr x = -(cos w) F x + (1+F)x + (sin w) Xr x =

= -(cos w æ
ç
è
0
(ex)e - x
ö
÷
ø
+ æ
ç
è
ct
(ex)e
ö
÷
ø
+ (sin w æ
ç
è
0
e ×x
ö
÷
ø
=

Die zeitliche Komponente ändert sich also gar nicht, und aus der räumlichen Komponente wird


exp(wA) x = -(cos w) ((ex)e - x)+ (ex)e+ (sin we ×x

Um diese Formel besser zu verstehen, betrachten wir einige Spezialfälle.

Was passiert, wenn e parallel zu x ist? Dann ist e ×x = 0 und (ex)e = x. Der erste und der dritte Term fallen also weg und es bleibt der zweite Term stehen, der den Vektor aber nicht ändert. In diesem Fall verändert die Abbildung den Vektor also überhaupt nicht. Bei einer Drehung ist das genau dann der Fall, wenn e die Drehachse angibt und der Vektor x genau parallel zur Drehachse liegt. Damit haben wir zwar noch nicht gezeigt, dass hier wirklich eine Drehung vorliegt, aber wir haben einen ersten Hinweis.

Betrachten wir den Fall, dass e parallel zur z-Achse liegt. Dies entspricht letztlich lediglich einer bestimmten Koordinatenwahl. Dann ist (ex)e = (0,0,x3) und e ×x = (-x2,x1,0). Also ist


exp(wA) x = æ
ç
ç
ç
è
(cos w) x1 - (sin w) x2
(cos w) x2 + (sin w) x1
x3
ö
÷
÷
÷
ø
= æ
ç
ç
ç
è
cos w
-sin w
0
sin w
cos w
0
0
0
1
ö
÷
÷
÷
ø
 x

Der Einheitsvektor in x-Richtung wird also auf den Vektor (cos w, sin w, 1) abgebildet, und der Einheitsvektor in y-Richtung wird auf den Vektor (-sin w, cos w, 1) abgebildet. Dies ist im folgenden Bild dargestellt:



Dieses Diagramm zeigt, wohin die Punkte (x1,x2) = (1,0) bzw. (x1,x2) = (0,1) bei verschiedenen Werten von w abgebildet werden. w wurde dabei vom Wert 0 in Schritten von 0,1 bis zum Wert 1,0 erhöht.

Man sieht, dass die Abbildung eine Drehung um die z-Achse ist, wobei w den Drehwinkel angibt. Allgemein gibt der Vektor e = w/w die Drehachse der Drehung an.

Die allgemeine mathematische Definition einer Drehung besteht in den Forderungen, dass sich die Länge eines dreidimensionalen Vektors bei der Abbildung nicht ändert. Dass das für die Abbildung exp(wA) zutrifft, kann man leicht direkt nachrechnen. Wir wollen hier darauf verzichten. Dass die Länge eines dreidimensionalen Vektors sich nicht ändert, ist auch ohne lange Rechnung sofort klar: da sich die Zeitkomponente durch Lr nicht ändert, und da die Metrik g(x,x) = (ct)2-x2 sich ebenfalls nicht ändert, kann sich auch x2 nicht ändern.

Unsere Schlussfolgerung lautet also: die Abbildungen Lr stellen Drehungen im dreidimensionalen Raum dar. Die Zeitkomponente wird dabei nicht verändert.


zurück zum Inhaltsverzeichnis