Kapitel 3
Die spezielle Relativitätstheorie

6  Poincaregruppe und Galileigruppe: nichtrelativistischer Limes

Wir habe bisher zwei affine Transformationen in Raum und Zeit kennengelernt: die Galileigruppe und die Poincaregruppe.

Die Poincaregruppe ist als physikalische Symmetriegruppe offenbar besser geeignet als die Galileigruppe, da sie eine Reihe von physikalischen Phänomenen beschreibt, die die Galileigruppe nicht erfasst. So sagt die Poincaregruppe aus, dass sich kein Teilchen, das auch in Ruhe existieren kann (Geschwindigkeit Null), schneller als mit Lichtgeschwindigkeit bewegen kann. Dies stimmt mit den physikalischen Beobachtungen überein.

Umgekehrt wissen wir, dass die Galileigruppe zumindest für Geschwindigkeiten weit unterhalb der Lichtgeschwindigkeit die Physik recht gut beschreibt. Es stellt sich daher die Frage: Auf welche Weise kann man die Poincaregruppe in die Galileigruppe überführen? Welche Näherung oder welchen Grenzwertprozess muss man durchführen, damit aus einer Poincaretransformation eine Galileitransformation wird?

Betrachten wir dazu die Poincare-Boosts. Wie wir wissen, können wir die Lorentz-Matrix von Boosts schreiben als


Lb = exp  æ
ç
è
a  æ
ç
è
0
e
e
0
ö
÷
ø
  ö
÷
ø
=

= æ
ç
è
(cosh a)
(sinh ae
(sinh ae
(1 + ((cosh a)-1) e eT)
ö
÷
ø
=

= æ
ç
è
g
gu
gu
1+(g-1)e eT
ö
÷
ø

mit g: = cosh a und u = (sinh a)/(cosh ae = (1 - 1/g2 )  e und |e| = 1. Dabei wird a als Rapidität und u als Boostgeschwindigkeit bezeichnet. Die Boostgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, die ein ruhendes Objekt nach dem Boost aufweist (gemessen in Anteilen der Lichtgeschwindigkeit, so dass immer u < 1 gilt).

Die Poincaregruppe sollte für kleine Geschwindigkeiten irgendwie in die Galileigruppe übergehen. Man könnte daher auf die Idee kommen, nur kleine Werte von a bzw. u zu betrachten und entsprechende Reihenentwicklungen vorzunehmen. Ein Versuch wäre, in der Exponentialdarstellung nur bis zum Term linear in a zu gehen, also


Lb = 1 + a  æ
ç
è
0
e
e
0
ö
÷
ø
= æ
ç
è
1
ae
ae
1
ö
÷
ø

Ist das eine Galilei-Boostmatrix? Die Galileimatrizen waren gegeben durch


A = æ
ç
è
1
0
v
R
ö
÷
ø

(wir verwenden hier den Buchstaben v statt dem früher verwendeten u, um Verwechselungen mit der relativistischen Boostgeschwindigkeit u zu vermeiden) wobei für einen ein Boost R = 1 ist. Wie wir sehen, führt unser naiver Ansatz nicht zu einer Galilei-Boostmatrix!

Doch halt: wir haben einen Fehler gemacht! Die Lorentz-Matrix der Boosts wirkt im Raum der Vektoren x = (ct,x), während die Galileimatrix im Raum der Vektoren x = (t,x) wirkt. Für die Betrachtung der Poincaregruppe hatten wir ja die Zeit mit der Lichtgeschwindigkeit multipliziert, so dass Raum- und Zeitkomponenten von x die gleiche physikalische Dimension (nämlich die einer Länge) erhalten. Bei der Betrachtung der Galileigruppe hatten wir das nicht gemacht, da die Lichtgeschwindigkeit dort keine besondere Rolle spielt. Natürlich könnten wir die Galileimatrix auch so umschreiben, dass sie ebenfalls im Raum der Vektoren x = (ct,x) wirkt. Sie hätte dann die Form


A = æ
ç
è
1
0
v/c
R
ö
÷
ø

was uns immer noch nicht weiterhilft.

Machen wir es umgekehrt und schreiben die Lorentz-Boostmatrix so um, dass sie im Raum der Vektoren x = (t,x) wirkt. Dann ist


Lb = æ
ç
è
g
gu/c
gu c
1+(g-1)e eT
ö
÷
ø

Wie schaffen wir nun den Übergang zur Galileigruppe?

Folgende Idee hilft weiter:

Im Rahmen der Relativitätstheorie spielt die Lichtgeschwindigkeit eine zentrale Rolle. Sie ist der zentrale Parameter der Theorie! Sie ist eine neue Naturkonstante, die es in der klassischen Mechanik so nicht gibt. In der klassischen Mechanik ist die Lichtgeschwindigkeit dagegen nichts besonderes. Sie kommt als universelle Naturkonstante dort nicht vor.

Beim Übergang von der Poincaregruppe zur Galileigruppe sollten wir daher versuchen, die Lichtgeschwindigkeit loszuwerden. Das können wir dadurch erreichen, dass wir alle mathematischen Ausdrücke so umschreiben, dass die Lichtgeschwindigkeit nur im Nenner der Ausdrücke vorkommt. Wenn wir nun die Lichtgeschwindigkeit unendlich gross werden lassen, so verschwinden diese Ausdrücke und mit ihnen die Lichtgeschwindigkeit.

Der Grenzübergang Lichtgeschwindigkeit gegen Unendlich (c ® ¥) ist nur dann möglich, wenn wir die Zeit-Komponente nicht mehr mit der Lichtgeschwindigkeit multipliziert haben. Ansonsten würden wir ja die Zeitdimension unendlich dehnen. Die entsprechende Vorarbeit haben wir oben bereits gemacht. Wir haben die Lorentz-Boostmatrix so umgeschrieben, dass sie im Raum der Vektoren x = (t,x) wirkt. Wie wir sehen, taucht die Lichtgeschwindigkeit in der Lorentz-Boostmatrix allerdings im Term gu c noch multiplikativ auf.

Das Problem können wir lösen, wenn wir uns daran erinnern, welche Bedeutung die Boostgeschwindigkeit u hat. Sie ist die Geschwindigkeit, die ein ruhendes Objekt nach dem Boost aufweist, gemessen in Anteilen der Lichtgeschwindigkeit. Die Lichtgeschwindigkeit wird also als Maßeinheit verwendet. Wenn wir die Lichtgeschwindigkeit jedoch unendlich groß machen wollen, so können wir sie nicht mehr als Maßeinheit verwenden. Der Parameter u muss also durch einen anderen Parameter ersetzt werden. Es bietet sich an, als neuen Parameter die Geschwindigkeit v, gemessen z.B. in Metern pro Sekunde, zu verwenden: v = uc. Diese Geschwindigkeit werden wir dann beim Grenzübergang als Konstante behandeln.

Nun können wir den Grenzübergang c ® ¥ mit v = uc = const durchführen. Dazu verwenden wir, dass beim Grenzübergang g gegen 1 geht:


g =   æ
 ú
Ö

1
1-u2
 
=   æ
 ú
Ö

1
1-(v/c)2
 
® 1

d.h. für die Boostmatrix gilt:


Lb = æ
ç
è
g
gv/c2
gv
1+(g-1)e eT
ö
÷
ø
® æ
ç
è
1
0
v
1
ö
÷
ø
= Ab

Das ist genau die Boostmatrix Ab einer Galilei-Transformation.

Wir haben also gezeigt: Beim Grenzübergang c ® ¥ mit v = uc = const gehen die Lorentz-Boostmatrizen in die Galilei-Boostmatrizen über, wobei wir die Matrizen im Raum der Vektoren x = (t,x) wirken lassen (d.h. die Zeitkomponente enthält nicht die Lichtgeschwindigkeit).

Die Drehungen haben wir dabei bisher nicht betrachtet. Das ist auch nicht nötig, da hier keine Unterschiede zwischen Galileigruppe und Lorentzgruppe bestehen.


Es ist ganz interessant, den Grenzübergang auch in der Exponentialdarstellung zu betrachten, da wir dadurch die Exponentialdarstellung für die Galileigruppe herleiten können.

Die allgemeine Darstellung einer Lorentzmatrix (aus der Zusammenhangskomponente der Einheitsmatrix) war im Raum der Vektoren x = (ct,x) gegeben durch


L = exp  æ
ç
è
0
ae
ae
G
ö
÷
ø
      mit      GT = -G

Zunächst müssen wir die Lichtgeschwindigkeit aus der Zeitkomponente herausnehmen, so dass L im Raum der Vektoren x = (t,x) wirkt. Dann hat L die Form


L = exp  æ
ç
è
0
(a/c)e
(a c)e
G
ö
÷
ø
      mit      GT = -G

Begründung: Setze x = : Cx¢ mit x = (ct,x) und x¢ = (t,x), d.h.
C = æ
ç
è
0
0
1
ö
÷
ø
Es gilt exp(X)  x = exp(X)  Cx¢ = C exp(C-1X C) x¢, wie man mit der Reihenentwicklung leicht sieht. Die Matrix C-1X C braucht man nun nur noch auszurechnen.

Um den Grenzübergang korrekt auszuführen, müssen wir noch den Zusammenhang zwischen a und u bzw. v betrachten. Es war u = v/c = (sinh a)/(cosh a). Wenn wir v konstant halten und c gegen Unendlich gehen lassen, so strebt u gegen Null. Die einzige Nullstelle der Funktion (sinh a)/(cosh a) liegt bei a = 0, d.h. wir müssen den Grenzübergang a® 0 betrachten.

Für die Matrixkomponente a/c ist der Fall klar: sie geht gegen Null. Wie aber steht es mit der Matrixkomponente a c, bei der a gegen Null und c gegen Unendlich geht? Hier müssen wir verwenden, dass beim Grenzübergang u c = v = (sinh a)/(cosh a) c konstant bleiben soll. Für kleine Werte von a können wir (sinh a)/(cosh a) = a+ (Terme in a2,  a3  usw.) schreiben. Geht a gegen Null, so brauchen wir nur noch den ersten Term zu berücksichtigen, da die Terme mit höheren Potenzen in a viel schneller verschwinden. Für den Grenzübergang gilt also die Forderung, dass v = a c konstant ist.

Aus der Matrix L wird in Exponentialdarstellung durch den Grenzübergang also die Matrix


L ® A = exp  æ
ç
è
0
0
v
G
ö
÷
ø
      mit      GT = -G

Das ist die Exponentialdarstellung der Galilei-Matrizen!

Als Probe wollen wir die Galilei-Boosts Ab betrachten, d.h. G = 0 setzen, und die Reihe ausrechnen. Das ist einfach, denn es ist


æ
ç
è
0
0
v
0
ö
÷
ø
   æ
ç
è
0
0
v
0
ö
÷
ø
= 0

d.h. für Boosts bricht die Reihe bereits nach den ersten beiden Termen ab. Also ist


Ab = exp  æ
ç
è
0
0
v
G
ö
÷
ø
= æ
ç
è
1
0
0
1
ö
÷
ø
+ æ
ç
è
0
0
v
0
ö
÷
ø
= æ
ç
è
1
0
v
1
ö
÷
ø

Die Exponentialdarstellung für Galileimatrizen ist also (zumindest für Boosts) korrekt. Für Drehungen ist das sowieso bereits klar, da wir die Exponentialdarstellung der Drehungen als Untergruppe der Lorentzmatrizen bereits in einem früheren Abschnitt untersucht hatten.


Lorentzmatrizen waren über die Bedingung g(L x, L y) = g(x,y) definiert worden. Mit anderen Worten: Lorentzmatrizen verändern den Ausdruck g(x,y) = x0 y0 - x y nicht, wenn sie auf die Vektoren x = (x0,x) = (ctx,x) und y = (y0,y) = (cty,y) wirken. Was wird aus diesem Ausdruck, wenn wir den Grenzübergang zur Galileigruppe durchführen?

Betrachten wir die Differenz zweier Vierervektoren x2-x1 . Falls die Zeitkomponente beider Vierervektoren gleich ist (also t2-t1 = 0), so ist g(x2-x1, x2-x1) = -(x2-x1)2. Dieser Ausdruck wird durch eine Lorentztransformation nicht verändert, d.h. räumliche Abstände bleiben bei einer Lorentztransformation erhalten, wenn die beiden Vierervektoren, zwischen denen der räumliche Abstand ermittelt wird, zur gleichen Zeit betrachtet werden, also in der gleichen Zeitscheibe der vierdimensionalen Raumzeit liegen. Da in diesem Ausdruck die Lichtgeschwindigkeit nicht vorkommt, ändert sich daran auch im Grenzübergang c ® ¥ nichts, d.h. auch Galileitransformationen müssen diese Bedingung erfüllen. Damit haben wir eine der beiden Bedingungen für die Galileigruppe hergeleitet.

Kommen wir zur Bedingung für die Zeitkomponente. Dazu schreiben wir den Ausdruck zunächst so um, dass die Zeit-Komponente nicht mehr mit der Lichtgeschwindigkeit c multipliziert sind:


g(x,y) = x0 y0 - x y = c2 tx ty - x y = c2  (tx ty - x y/c2) = : c2  h(x,y)

Wenn g(x,y) durch eine Lorentztransformation nicht geändert wird, so wird auch h(x,y) = tx ty - x y/c2 nicht geändert. Läßt man die Lichtgeschwindigkeit nun gegen Unendlich gehen, so geht h(x,y) gegen tx ty:


h(x,y) ® tx ty

Setzen wir wieder für x und y den Abstand zweier Vierervektoren x = y = x2-x1 ein, so folgt für Galileitransformationen, dass sie den Ausdruck (t2-t1)2 nicht ändern. Galileitransformationen dürfen Zeitabstände nicht ändern! Damit haben wir die zweite Bedingung für die Galileigruppe hergeleitet.


Zum Schluss dieses Abschnittes wollen wir noch einmal detaillierter auf die Geometrie der relativistischen und der nichtrelativistischen Raumzeit eingehen. Dabei werden wir auch vor vielleicht etwas ungewohnten (abstrakten) Begriffen nicht zurückschrecken, da man so besser erkennt, was man aus mathematischer Sicht eigentlich tut.

Die relativistische Raumzeit ist relativ einfach. Wir können sie als vierdimensionalen reellen Vektorraum mit Metrik auffassen. Die Vektoren in diesem Raum haben eine Zeit- und drei Raumkomponenten: x = (x0,x) = (ct,x). Die Metrik ist durch g(x,y) = x0 y0 - x y gegeben. Man kann also zwei beliebigen Vektoren aus diesem Raum über diese Metrik eine reelle Zahl zuordnen. Poincaretransformationen verändern diese Metrik nicht.

Wie sieht die Sache nun für die nichtrelativistische Raumzeit aus? Zunächst scheint alles analog zu sein: Wir können die nichtrelativistische Raumzeit wieder als vierdimensionalen reellen Vektorraum auffassen. Die Vektoren in diesem Raum haben ebenfalls eine Zeit- und drei Raumkomponenten: x = (t,x).

Bei der Metrik fängt die Sache allerdings an, komplizierter zu werden. Es macht für die Definition von Galileitransformationen keinen Sinn, zwei beliebigen Vektoren x = (tx,x) und y = (ty,y) irgendeinen Abstand oder eine Metrik zuzuordnen. Die Forderungen für die Galileitransformation unterscheiden nämlich zwischen Zeit und Raum. Sie machen eine Aussage über zeitliche Abstände und räumliche Abstände bei gleicher Zeitkoordinate. Die vierdimensionale Raumzeit wird gleichsam in einzelne dreidimensionale Scheiben oder Schichten zerlegt, die sich entlang eines Zeitstrahls zur vierdimensionalen Raumzeit aufstapeln. Auf diesem Zeitstrahl kann man von Abständen reden (nämlich von Zeitabständen), und in jeder dreidimensionale Scheibe, die ja Vektoren mit gleicher Zeitkomponente umfasst, kann man von räumlichen Abständen reden, die durch Galileitransformationen nicht geändert werden. Diese Vorstellung verbirgt sich dahinter, wenn man von einer universellen Zeit spricht.

Man kann versuchen, eine mathematische Struktur aufzubauen, die diese Vorstellung berücksichtigt und präzisiert. Dabei wollen wir zunächst absichtlich keinen Gebrauch von der Komponentendarstellung von Vektoren machen, sondern die mathematische Struktur komponentenfrei definieren.

Bezeichnen wir dazu die nichtrelativistische Raumzeit mit V. Diese Raumzeit V ist zunächst einmal ein vierdimensionaler reller Vektorraum genauso wie die relativistische Raumzeit. Allerdings macht es hier keinen Sinn, auf dem gesamten Raum eine Metrik zu definieren. Wir müssen diesem Raum eine andere zusätzliche Struktur geben, die die Sonderrolle der Zeit heraushebt. Dazu definieren wir eine Abbildung T, die zu jedem Vektor x aus V eine zugehörige Zeit ermittelt.


T: V ® R     mit    T(x) = t

Diese Abbildung soll linear sein, d.h. T(x-y) = T(x)-T(y) und T(lx) = l T(x), wobei l eine relle Zahl ist. Man bezeichnet eine solche Abbildung als Linearform.

Diese Abbildung ermöglicht es uns, den Begriff der Zeit und des Zeitabstandes überhaupt erst mathematisch sauber zu fassen. Dazu interpretiert man zunächst Vektoren x aus V als physikalische Ereignisse, was nichts anderes bedeutet, als dass man Zeit und Ort für irgendein physikalisches Phänomen (z.B. den Zerfall eines Teilchens) angibt. Man interpretiert nun T(x) = :t als Zeit des Ereignisses x. Bei zwei Ereignissen x und y interpretiert man T(x-y) = T(x)-T(y) = tx-ty als Zeitabstand zwischen den Ereignissen.

Wie sieht es nun mit dem räumlichen Abstand zwischen den Ereignissen aus?

Wir hatten es bereits gesagt: Es macht für Galileitransformationen keinen Sinn, den räumlichen Abstand zwischen zwei beliebigen Ereignissen zu definieren, da ein Boost den räumlichen Abstand zwischen zwei Ereignissen, die zu verschiedenen Zeiten stattfinden, ändern würde. Wir suchen aber mathematischen Größen, die durch Galileitransformationen nicht geändert werden!

Die Abbildung T ermöglicht es uns nun, den räumlichen Abstand für Ereignisse zu gleicher Zeit sauber zu definieren. Man definiert dazu einen neuen Vektorraum V0 als den sogenannten Kern der Abbildung T. Mit anderen Worten: V0 besteht aus allen Vektoren x aus V, deren Zeitkomponente gleich Null ist:


V0 = Kern(T) = { x Î V     mit    T(x) = 0 }

V0 ist ein dreidimensionaler reeller Vektorraum, d.h. man kann drei Basisvektoren e1, e2 und e3 angeben. Auf diesem Raum kann man nun ein euklidisches Skalarprodukt h0(x,y) mit T(x) = T(y) = 0 definieren.

Der Raum V0 ist eine sogenannte spezielle Faser von V (also eine spezielle Scheibe oder Schicht des Raumstapels, und zwar die zur Zeit Null). Man kann auch schreiben: V0 = T-1(0), was nichts anderes bedeutet, als dass alle Vektoren aus V0 durch T auf Null abgebildet werden.

Analog kann man die Fasern Vt zur Zeit t definieren als


Vt = T-1(t) = { x Î V     mit    T(x) = t }

d.h. dieser Raum enthält alle Vektoren oder Ereignisse der Raumzeit, die zur Zeit t gehören. Wir können nun das euklidisches Skalarprodukt von V0 nach Vt übertragen, indem wir das Skalarprodukt ht in Vt über die folgende Gleichung definieren: h0(x-y,x-y) = : ht(x,x) - 2  ht(x,y) + ht(y,y) mit x und y aus Vt. Das geht, denn x-y ist wegen T(x-y) = T(x)-T(y) = t-t = 0 aus V0. Man kann nun beispielsweise y Î Vt so wählen, dass ht(x,y) = 0 für alle x Î Vt ist (das muss gehen, weil Vt ein Vektorraum und h ein Skalarprodukt ist). Dann ist ht(x,x) = h0(x-y,x-y).

Das folgende Bild stellt diese Zusammenhänge noch einmal grafisch dar:


Die Galileigruppe könnte man nun abstrakt als affine Abbildung von V nach V definieren, so dass T(x-y) (also Zeitabstände) und h0(x-y,x-y) (also Raumabstände in einer Zeitscheibe) sich nicht ändern.

Zugegeben: das ganze ist ziemlich abstrakt. Man kann sich das Ganze in der Koordinatendarstellung noch einmal klar machen: Mit x=(t,x) ist T(x) = t und h0(x-y,x-y) = (bf x-y)2. Man nennt diese Koordinatendarstellung ein sogenanntes Modell der obigen mathematischen Struktur.

Die abstrakte Struktur hilft, zu verstehen, was man begrifflich genau tut. Ähnliche Vorgehensweisen haben sich in der Mathematik sehr oft bewährt, beispielsweise bei der Definition des Begriffs Vektorraum oder des Begriffs Gruppe. Durch die abstrakte Formulierung treten oft Ähnlichkeiten zwischen bereits bekannten mathematischen Strukturen zutage. Beispiel: oh Wunder, auch Polynome bilden einen Vektorraum - wer hätte das gedacht! Und wer schon einmal eine Vorlesung über Quantenmechanik gehört hat, wird sich daran erinnern, wie die Wellenformulierung von Schrödinger und die Matrizenformulierung von Heisenberg sich als Modelle der gleichen mathematischen Struktur herausstellten (es handelt sich im Wesentlichen um einen Hilbertraum mit gewissen linearen Operatoren, die darauf wirken - wir kommen darauf noch zurück).

Die Präzision der Begrifflichkeit kann bei Verwendung von Koordinatendarstellungen mitunter verlorengehen, so dass man gelegentlich gezwungen ist, zu der abstrakten Darstellungsweise zurückzukehren, um keinen Irrtümern zu unterliegen und Zusammenhänge besser zu erkennen. Wie schnell man Ungenauigkeiten begeht, sieht man beispielsweise, wenn man die Zeit vergisst und nur nach Transformationen des dreidimensionalen Raums sucht, die räumliche Abstände unverändert lassen: man erhält lediglich die Drehungen und übersieht die Möglichkeit von Boosts!

Die abstrakte Darstellung macht etwas deutlich: Obwohl die physikalische Interpretation der Mathematischen Objekte in der relativistischen Theorie schwieriger ist als in der nichtrelativistischen Theorie, ist dennoch die mathematische Struktur der nichtrelativistischen Raumzeit und der zugehörigen Galileigruppe komplizierter als die Struktur der relativistischen Raumzeit und der zugehörigen Poincaregruppe. Im relativistischen Fall genügt eine einfache Metrik, um dem vierdimensionalen reellen Vektorraum die notwendige Struktur zu geben. Im nichtrelativistischen Fall dagegen benötigt man eine Linearform, über die sich der vierdimensionale Raum in dreidimensionale Fasern aufteilen lässt, und man benötigt ein euklididsches Skalarprodukt in diesen Fasern. Diese höhere Komplexität wird in der Quantentheorie noch Folgen haben: Die Darstellungen der Galileigruppe erfordern dort weitergehende mathematische Werkzeuge als die Darstellungen der Poincaregruppe. Wir werden in späteren Kapiteln noch darauf zurückkommen.


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