Kapitel 3
Die spezielle Relativitätstheorie

8  Die Poincaregruppe und der Zusammenhang zwischen Impuls und Geschwindigkeit

Im Kapitel Die Galileigruppe und der Zusammenhang zwischen Impuls und Geschwindigkeit hatten wir einen Zusammenhang zwischen dem Impuls p und der Geschwindigkeit v eines Teilchens hergeleitet.

Dazu hatten wir den Ansatz
p = f(|v|v
gemacht und gefordert, dass die Galileitransformationen eine physikalische Symmetriegruppe bilden. Mit anderen Worten: Galileitransformationen und Impulserhaltung sollten miteinander verträglich sein.

Als Ergebnis erhielten wir den Zusammenhang
p = m v
wobei m eine für das Teilchen charakteristische Konstante ist. Diese Konstante haben wir als Masse des Teilchens bezeichnet. Bei der Herleitung haben wir verwendet, dass beim Zerfall eines Teilchens in zwei identische Bruchstücke die Geschwindigkeit der Bruchstücke nicht festliegt. Sie muss nur bei beiden Bruchstücken gleich groß sein (das folgt aus der Impulserhaltung).

Gleichsam als Nebenprodukt haben wir einen weiteren Zusammenhang hergeleitet:

Wir haben den Zerfall eines ruhenden Objektes der Masse m0 in zwei (diesmal nicht unbedingt gleiche) Objekte mit Massen m1 und m2 betrachtet und die Beziehung


m1+m2 = m0

gefunden. Nicht nur die Impulssumme, sondern auch die Massensumme ist vor dem Zusammenstoß oder dem Zerfall genauso groß wie nachher.

Wir können dies dadurch ausdrücken, dass wir einen sogenannten nichtrelativistischen Vierer-Impulsvektor p definieren:


p : = æ
ç
è
m
p
ö
÷
ø

d.h. wir fassen die drei Komponenten des Impulses und die Masse zu den vier Komponenten des Vektors p zusammen.

Bleibt die Frage: was soll das?

Zunächst einmal können wir nun einfach sagen, dass sich die Summe der Viererimpulse während eines Zusammenstoßes oder eines Zerfalls nicht ändert. Die Summe der Viererimpulse bleibt erhalten. Das bedeutet natürlich genau dasselbe, als wenn man sagt, die Summe der Massen und die Summe der Impulse bleibt erhalten.

Wozu ist der Viererimpuls sonst noch nützlich?

Betrachten wir den Zusammenhang mit der Geschwindigkeit. Wir können schreiben


p = m   æ
ç
è
1
v
ö
÷
ø

Daraus können wir das Transformationsverhalten des nichtrelativistischen Viererimpulses ablesen. Bei einer Galileitransformation x ® A x+d wird aus der Geschwindigkeit v die Geschwindigkeit u+Rv. Mit Hilfe der Galileimatrix


A = æ
ç
è
1
0
u
R
ö
÷
ø

können wir das schreiben als


m   æ
ç
è
1
v
ö
÷
ø
  ®    m  æ
ç
è
1
0
u
R
ö
÷
ø
  æ
ç
è
1
v
ö
÷
ø
= m  æ
ç
è
1
u+Rv
ö
÷
ø

oder kürzer als


p   ®   A p

Fassen wir zusammen: wirkt die Galileitransformation x ® A x+d auf Raum und Zeit, so gilt für die nichtrelativistischen Viererimpulse die Abbildung p ® A p .

Daraus können wir unmittelbar ablesen, dass die Impulserhaltung für Viererimpulse mit den Galileitransformationen verträglich ist: Wenn für die Viererimpulse bei einem Zusammenstoß p1+p2 = p3+p4 gilt, so können wir diese Gleichung mit der Matrix A multiplizieren und erhalten Ap1+Ap2 = Ap3+Ap4 . Das sind aber gerade die Viererimpulse nach der Galileitransformation, d.h. auch für diese Impulse gilt die Impulserhaltung.


Kommen wir nun zum relativistischen Fall und damit zur Poincaregruppe. Wie sieht hier der Zusammenhang zwischen Impuls und Geschwindigkeit wohl aus?

Wir könnten versuchen, analog zum nichtrelativistischen Fall vorzugehen, den Ansatz p = f(|v|v machen und tapfer drauf losrechnen. Man gerät dabei allerdings in einen ziemlichen Wust aus komplizierten und unübersichtlichen Formeln, so dass wir diesen Weg hier nicht beschreiten wollen.

Gibt es eine andere elegantere Möglichkeit?

Wir könnten versuchen, einen relativistischen Viererimpulsvektor zu konstruieren, analog zum nichtrelativistischen Fall. Dieser Vektor soll eindeutig von der Geschwindigkeit v abhängen und sich bei einer Poincaretransformation x ® L x+d mit der Lorentzmatrix L transformieren: p ® L  p. Die Impulserhaltung für diese Viererimpulse wäre damit automatisch verträglich mit den Poincaretransformationen. Und zuletzt sollte dieser relativistische Viererimpuls im nichtrelativistischen Grenzfall (v konstant, c ® ¥) etwas mit dem nichtrelativistischen Viererimpuls zu tun haben.

Nach dem, was wir im letzten Abschnitt über die Vierergeschwindigkeit u gelernt haben, fällt es uns leicht, einen solchen Vektor zu finden. Wir machen also den Ansatz


p = m u = m  æ
ç
è
g c
g v
ö
÷
ø
    mit     g =   æ
 ú
Ö

1
1-(v/c)2
 

Die Vierergeschwindigkeit u ist nur für Geschwindigkeiten unterhalb der Lichtgeschwindigkeit definiert, d.h. die Beziehung p = m u gilt nur für v < c . Für v = c kann der Viererimpuls nicht mit der Geschwindigkeit in Zusammenhang gebracht werden, da diese ja dann konstant ist. Wir kommen unten noch einmal auf diesen Fall zurück.

Der Viererimpulsvektor p = m u erfüllt alle Forderungen, die wir oben gestellt haben. Im nichtrelativistischen Grenzfall muss man dabei allerdings beachten, dass die Lichtgeschwindigkeit aus der obersten Komponente entfernt werden muss, um den Grenzübergang durchführen zu können (vgl. den Abschnitt Poincaregruppe und Galileigruppe: nichtrelativistischer Limes). In Analogie zum nichtrelativistischen Fall bezeichnen wir m wieder als die Masse des Teilchens.

Was bedeutet es nun, wenn die Summe der relativistischen Viererimpulse bei Zusammenstößen und Zerfällen sich nicht ändert? Gibt es Unterschiede zum nichtrelativistischen Fall?

Betrachten wir zunächst die drei räumlichen Anteile des Vierer-Impulsvektors, also den dreidimensionalen Impuls p = m gv. Der einzige Unterschied zum nichtrelativistischen Fall besteht darin, dass die Masse noch mit dem Faktor g multipliziert wird. Was bewirkt dieser Faktor?

Ohne den Faktor g hätten wir die Situation, dass der dreidimensionale Impuls p maximal den Betrag mc annehmen könnte, da auch die Geschwindigkeit maximal gleich der Lichtgeschwindigkeit sein kann. Stoßexperimente zeigen jedoch, dass der Impuls beliebig groß werden kann. Der Faktor g löst das Problem, denn g kann beliebig groß werden.

Kommen wir zur zeitlichen Komponente p0 = m g c des Viererimpulses. Was bedeutet es, wenn die Summe dieser Komponenten bei Stößen und Zerfällen konstant bleibt?

Wieder besteht der Unterschied zum nichtrelativistischen Fall in dem Faktor g. Man könnte annehmen, dass das nicht weiter wichtig ist: statt der Summe der Massen ist eben die Summe der Massen mal dem Faktor g konstant. Doch der Faktor g ist hier ganz entscheidend, denn er enthält die Geschwindigkeit v des Teilchens! Nehmen wir an, ein Teilchen der Masse m0 zerfällt in zwei identische Teilchen der Masse m, die mit jeweils gleich großer Geschwindigkeit v auseinanderfliegen:


Die Summe der zeitlichen Komponente der Viererimpulse soll nun erhalten sein. Vor dem Zerfall gibt es nur ein Teilchen mit Geschwindigkeit Null. Die zeitliche Viererimpulskomponente dieses Teilchens ist gleich m0 c. Nach dem Zerfall gibt es zwei Teilchen mit zeitlicher Viererimpulskomponente m g c. Es muss also m0 c = 2 m g c gelten. Schreiben wir g aus, dividieren durch c und quadrieren, so erhalten wir


m02 = (2m)2  1
1-(v/c)2

Diese Gleichung können wir nach v freistellen mit dem Ergebnis


v = c    _________
Ö1-(2m/m0)2
 

Wir sehen also, dass der Faktor g dazu führt, dass bei gegebenen Massen m0 und m der Betrag der Geschwindigkeit der beiden Teilchen nach dem Zerfall feststeht. Zerfällt ein Teilchen der Masse m0 in zwei Teilchen der Masse m, so fliegen diese beiden Teilchen zwangsläufig mit der Geschwindigkeit v = c Ö[(1-(2m/m0)2)] auseinander. Voraussetzung dafür, dass der Zerfall überhaupt stattfinden kann, ist die Bedingung m0 > 2 m. Das zerfallende Teilchen muss also genug Masse besitzen, um zerfallen zu können. Es muss mehr als Masse besitzen als die Zerfallsprodukte zusammen. Insgesamt besteht ein fester Zusammenhang zwischen den Massen und den Geschwindigkeiten.

Im nichtrelativistischen Fall verschwindet dagegen der Faktor g. Die zeitliche Komponente der Viererimpulse liefert daher keine Einschränkung für die Geschwindigkeit. Es besteht lediglich ein fester Zusammenhang zwischen den Massen: m0 = 2 m . Die Massen der beiden Bruchstücke ergeben zusammen genau die Masse des zerfallenden Teilchens. Die Geschwindigkeit der Bruchstücke ist jedoch durch die Massen nicht festgelegt. Genau diesen Umstand hatten wir bei der Herleitung der Formel p = m v früher auch explizit ausgenutzt.

Wodurch wird im nichtrelativistischen Fall denn nun die Geschwindigkeit der Bruchstücke eigentlich festgelegt? Sie hängt von der Energie ab, die beim Zerfall auf die beiden Bruchstücke übertragen wird. Wir haben uns vorgestellt, wie die Brüchstücke durch eine kleine Explosion oder durch eine kleine Feder auseinandergetrieben werden. Wie groß diese Energie ist, kann man dem zerfallenden Teilchen aber nicht unmittelbar ansehen. Die Energie ist irgendwo im inneren verborgen, hat aber keinen Einfluss auf die Teilchenmasse.

Im relativistischen Fall ist die Geschwindigkeit bereits durch das Massenverhältnis von m0 zu m festgelegt. Man kann sich vorstellen, dass die Energie in der Masse m0 gleichsam gespeichert ist und beim Zerfall zum Teil frei wird. Die zum Zerfall notwendige Energie äußert sich also in der Masse des zerfallenden Teilchens. Daher definiert man in der Relativitätstheorie die Energie eines Teilchens auch einfach als die zeitliche Komponente des Viererimpulses (multipliziert mit c, um Energie-Maßeinheiten zu erhalten):


E : = p0 c = m g c2

Um Verwechselungen mit den nichtrelativistischen Größen zu vermeiden, kann man diese Energie auch als relativistische Energie bezeichnen.

Für kleine Geschwindigkeiten kann man g in Potenzen von v/c entwickeln und erhält in erster Ordnung g = 1 + (v/c)2/2 + ¼. Für E ergibt sich damit E = mc2 + mv2/2 + ¼. Dieses Ergebnis erinnert uns an unser nichtrelativistisches Ergebnis, das wir für die Energie bei elastischen Zusammenstößen erhalten hatten.

Erinnern wir uns: im nichtrelativistischen Fall haben wir eine spezielle Sorte von Stoßvorgängen betrachtet, bei denen es neben der Impulserhaltung und der Massenerhaltung eine weitere Erhaltungsgröße gibt: die (nichtrelativistische) Bewegungsenergie
hi(p2) = A
mi
p2+Bi
Dabei bezeichnet i die Nummer des Teilchens. Wählt man A = 1/2 und Bi = mi c2 und verwendet p = mi v, so ergeben sich gerade die ersten beiden Terme der obigen Reihenentwicklung.

Müsste man dann nicht vermuten, dass bei kleinen Geschwindigkeiten generell nur elastische Stöße vorkommen? Die Summe der relativistischen Energien ist schließlich bei jedem Stoß- und Zerfallsvorgang erhalten, und wir haben gerade gesehen, dass bei kleinen Geschwindigkeiten die relativistische Energie in die nichtrelativistische Bewegungsenergie übergeht. Wo also liegt der Haken?

Wir haben einen (naheliegenden) Fehler gemacht! Im nichtrelativistischen Grenzfall geht die relativistische Energie nicht in die nichtrelativistische Bewegungsenergie über, sondern in die Masse des Teilchens (multipliziert mit c2)! Nur dann ist der zugehörige nichtrelativistische Viererimpuls generell verträglich mit den Galileitransformationen. Nur bei elastischen Stoßvorgängen ist die Erhaltung der nichtrelativistischen Bewegungsenergie zusätzlich mit den Galileitransformationen verträglich, wie wir bei der Herleitung der obigen Formel gesehen haben.

Es macht auch nur in der nichtrelativistischen Physik überhaupt Sinn, zwischen elastischen und inelastischen Stoßvorgängen zu unterscheiden. In der relativistischen Physik dagegen umfasst die Erhaltung der relativistischen Viererimpulssumme alles, was es über die Energien und Impulse einer Stoß- oder Zerfallsvorgangs zu sagen gibt. Man braucht keine verborgenen Energien zu bemühen, um bei inelastischen Prozessen die Geschwindigkeiten nach dem Prozess festzulegen. Die relativistische Theorie ist umfassender und einfacher als die nichtrelativistische Theorie. Sie ist in der Lage, gleichzeitig elastische und inelastische Stoßvorgänge mit denselben mathematischen Mitteln zu erfassen, so dass der Unterschied unwichtig wird.


Wir hatten gesehen, dass sich der relativistische Viererimpuls bei einer Poincaretransformation x ® L x+d mit der Lorentzmatrix L transformieren: p ® L  p. Nun wissen wir, dass sich die Lorentzmetrik g(p,p) nicht ändert, wenn man den Vierervektor p mit der Lorentzmatrix L multipliziert, d.h. es ist g(p,p) = g(L p, L p). Wir können g(p,p) auch explizit ausrechnen. Dazu verwenden wir p = m u sowie g(u,u) = c2 und erhalten


g(p,p) = (mc)2

Diese Gleichung gilt zunächst nur für v < c und m > 0, wir werden ihre Gültigkeit aber unten auch für den Fall v = c und m = 0 zeigen.

Wegen der Gleichung g(p,p) = (mc)2 sagt man auch, die Viererimpulse eines Teilchens liegen auf der sogenannten Massenschale. Warum, wird deutlich, wenn wir die Gleichung auschreiben g(p,p) = (p0)2-p2 = (mc)2 und nach p0 freistellen:


p0 =
Ö
 

(mc)2+p2
 

(es war generell p0 > 0). Trägt man |p| auf der x-Achse und p0 auf der y-Achse auf, so erhält man eine Kurve, die mit etwas Phantasie wie eine Schale aussieht.



Die Massenschale

Mit E = p0 c ergibt sich für die relativistische Energie die Gleichung


E =
Ö
 

(mc2)2+(pc)2
 

Ein ruhendes Teilchen besitzt also die Energie E = mc2. Das ist wohl die berühmteste physikalische Formel der Weltgeschichte, und leider auch eine der meist-missbrauchten. Was bedeutet sie?

Zunächst einmal enthält auch die nichtrelativistische Bewegungsenergie hi(p2) = (A/mi) p2+Bi eine additive Konstante. Es ist also auch hier möglich, einem ruhenden Teilchen eine Energie zuzuordnen. Dabei ist völlig egal, wie groß wir diese Ruheenergie wählen, denn sie spielt in der nichtrelativistischen Physik überhaupt keine Rolle! Aufgrund der Massenerhaltung kann nämlich eine solche Ruheenergie niemals freigesetzt werden.

Das ist in der relativistischen Physik anders. Hier gilt die Massenerhaltung nicht, sondern es gilt die Erhaltung der relativistischen Energie. Ein schweres Teilchen kann daher in zwei sehr leichte Teilchen zerfallen, wobei Masse in Bewegungsenergie umgewandelt wird.


Kommen wir nun zum Fall v = c.

Wir wollen versuchen, auch für ein Teilchen, das sich mit v = c bewegt, einen relativistischen Viererimpulsvektor zu definieren, so dass die Erhaltung der Viererimpulssumme gilt und mit den Poincaretransformationen verträglich ist.

Wie muss ein solcher Viererimpulsvektor aussehen?

Versuchen wir, diesen Viererimpuls aus dem Fall m > 0 durch einen geeigneten Grenzübergang herzuleiten. Dazu betrachten wir wieder den Zerfall unseres Teilchens der Masse m0 in die beiden identischen Teilchen der Masse m, die mit der Geschwindigkeit v in entgegengesetzte Richtungen auseinanderfliegen. Wie wir oben gesehen haben, gibt es aufgrund der Viererimpulserhaltung zwischen den Massen m0 und m und der Geschwindigkeit v die feste Beziehung m0 = 2 m g die wir nach m freistellen können: m = m0/(2g). Wir halten nun m0 fest und betrachten Zerfälle, bei denen die Geschwindigkeit der Bruchstücke immer näher an die Lichtgeschwindigkeit heranreicht. Im Grenzfall v = c wird 1/g = 0, so dass auch m = 0 wird. Der Grenzübergang v ® c mit konstantem m0 korrespondiert also mit m ® 0. Wegen g(p,p) = (mc)2 bedeutet der Grenzübergang für die Metrik des Impulsvektors daher


g(p,p) = 0

oder anders geschrieben (p0)2-p2 = 0. Mit der Schreibweise p = |p| e muss der Impulsvektor für v = c also die Form


p = |p|  æ
ç
è
1
e
ö
÷
ø

haben. Für die relativistische Energie folgt damit E = |p| c .

Und das ist auch schon das Ergebnis, denn mehr gibt es hier nicht zu sagen!

Wie groß |p| nun ist, kann nicht aus der Geschwindigkeit des Teilchens abgeleitet werden, denn diese ist ja immer gleich groß (nämlich gleich der Lichtgeschwindigkeit). Der Betrag |p| ist einzig durch die Erhaltung der Viererimpulssumme festgelegt. Wir können ihn für unser Beispiel leicht ausrechnen. Die zeitliche Komponente des Viererimpulses vor dem Zerfall beträgt m0 c, wie wir bereits wissen. Nach dem Zerfall ist die zeitliche Komponente jedes der beiden Viererimpulse gerade gleich |p|. Also ist m0 c = 2 |p| bzw. |p| = m0 c/2.

Man kann es auch anders ausdrücken: Die gesamte Ruheenergie E0 = m0 c2 des ruhenden Teilchens hat sich in die Bewegungsenergie E = |p| c = m0 c2/2 der beiden masselosen Teilchen umgewandelt. Doch Vorsicht: der Begriff Bewegungsenergie ist hier etwas problematisch. Das einzige, was wirklich zählt, ist die relativistische Energie E = Ö{(mc2)2+(pc)2} der Teilchen. Diese Formel gilt für ruhende Teilchen ebenso wie für masselose Teilchen, und die Summe der relativistischen Energien bleibt bei einem Zusammenstoß oder einem Zerfall erhalten, auch bei dem Zerfall eines ruhenden Teilchens in zwei masselose Teilchen.

Wir haben gesehen, dass sich der Grenzübergang v ® c und somit m ® 0 problemlos durchführen lässt. Dies ist in der nichtrelativistischen Theorie völlig anders: lässt man beispielsweise in der Formel p = mv die Masse m gegen Null gehen, so verschwindet auch der Impuls des Teilchens. Im Gegensatz zur nichtrelativistischen Theorie machen in der relativistischen Theorie Teilchen mit Masse Null durchaus Sinn, und sie lassen sich problemlos im Rahmen der Theorie beschreiben. Man kann ihnen einen relativistischen Viererimpuls zuordnen und entsprechende Stoß- sowie Zerfallsvorgänge studieren. Masselose Teilchen haben eine Energie und einen Impuls, der sich bei Stoßprozessen messen lässt.

Ob die Natur von der Möglichkeit masseloser Teilchen Gebrauch macht, kann wieder einmal nur das Experiment klären. Und es zeigt sich: sie macht tatsächlich Gebrauch davon! Man findet in der Natur masselose Teilchen, z.B. das Photon. Dabei ist es übrigens sehr schwierig, festzustellen, ob ein für masselos gehaltenes Teilchen nicht doch eine winzig kleine Masse aufweist. Ein aktuelles Beispiel sind die Neutrinos, bei denen man vor kurzem eine sehr kleine Masse gemessen hat (vorausgesetzt, die Experimente erweisen sich als zuverlässig). Die Tatsache, dass man den Grenzübergang m ® 0 problemlos durchführen kann, zeigt, dass man dem Viererimpuls eines Teilchens eine sehr kleine Masse kaum ansieht.


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