Kapitel 4
Die Quantentheorie

3  Freie Teilchen

Wir haben im letzten Kapitel die wichtigsten Grundeigenschaften von Wahrscheinlichkeitsamplituden kennengelernt. Wir wissen, wann man Wahrscheinlichkeitsamplituden addiert, multipliziert und quadriert. Aber wie groß die Amplitude für ein konkretes physikalisches Ereignis ist, wissen wir noch nicht.

Betrachten wir den Fall, dass sich ein Teilchen geradlinig gleichförmig bewegt. Diese Form der Bewegung hatten wir in früheren Kapiteln auch als die Grundform der Bewegung bezeichnet, da das Teilchen dabei definitionsgemäß keinen äußeren Einflüssen unterliegt (wir wollen es deshalb auch als freies Teilchen bezeichnen). Es ist sicher sinnvoll, sich zunächst mit dieser Grundform zu befassen.

Aber was bedeutet es eigentlich, dass sich ein Teilchen geradlinig gleichförmig bewegt? Im Rahmen der klassischen Mechanik war die Antwort einfach: das Teilchen bewegt sich entlang einer Geraden mit konstanter Geschwindigkeit. Die Bahnkurve ist eine Gerade der Form x = v t .

Doch in der Quantenmechanik gibt es den Begriff der Bahnkurve zunächst gar nicht. Erinnern wir uns an den Doppelspaltversuch. Bei Auftreten eines Interferenzmusters gibt es zwei ununterscheidbare Möglichkeiten für das Teilchen, an einem Ort auf dem Leuchtschirm anzukommen: es kann durch Spalt a oder b fliegen. Entsprechend kann es auch keine Bahnkurve mehr geben, denn diese kann nicht gleichzeitig durch Spalt a und Spalt b führen.

Wir können also nicht mehr sagen, dass sich ein freies Teilchen geradlinig gleichförmig bewegt, denn das würde die Angabe einer Bahnkurve bedeuten. Wodurch aber können wir es dann kennzeichnen?

Ein freies Teilchen unterliegt nach Definition keinen äußeren Einflüssen. Wir konnten in der klassischen Mechanik zwei Größen definieren, die bei Abwesenheit äußerere Einflüsse konstant bleiben: die Energie und den Impuls des Teilchens. Es zeigt sich, dass Energie und Impuls auch in der Quantentheorie sinnvolle physikalische Größen zur Beschreibung eines freien Teilchens sind. So können Energie und Impuls bei physikalischen Reaktionen zwischen Teilchen übertragen werden, und ihre Summe bleibt konstant. Je größer die Energie eines Elektrons ist, das auf dem Leuchtschirm hinter dem Doppelspalt auftrifft, umso heller ist der Lichtblitz, den es auslöst.

Halten wir also fest: freie Teilchen haben auch in der Quantentheorie eine bestimmte Energie und einen bestimmten Impuls. Dies ist im Grunde die Definition eines freien Teilchens in der Quantentheorie.

Wie aber äußern sich Energie und Impuls eines Teilchens in der Quantentheorie? Ein Zusammenhang mit der Teilchengeschwindigkeit ist nicht mehr unmittelbar möglich, denn dazu müssten wir wieder eine Flugbahn angeben.

Um einer Lösung dieses Problems näherzukommen, betrachten wir noch einmal den Doppelspaltversuch: Es typisch quantenmechanisches Phänomen, das hierbei auftritt, ist die Interferenz, wenn beide Spalte offen und beide Wege ununterscheidbar sind. Dies erinnert an den Durchgang von Lichtwellen, bei denen in gleicher Weise Interferenz auftritt. Es liegt also die Vermutung nahe, dass Wahrscheinlichkeitsamplituden etwas mit Wellen gemeinsam haben.

Die einfachste Wellenform ist die ebene Welle. Ebene Wellen sind durch eine bestimmte Frequenz w und einem bestimmten Wellenzahlvektor k gekennzeichnet, wobei die Richtung des Wellenzahlvektors die Ausbreitungsrichtung der Welle angibt. Die Raum-Zeit-Abhängigkeit einer ebenen Welle ist von der Form


exp [-i (wt - k x)]

wobei man in vielen Fällen nur den Realteil (also cos(wt - k x) ) dieser Funktion benötigt und die Exponentialfunktion nur aus Bequemlichkeit verwendet. Es zeigt sich, dass die raum-zeitliche Abhängigkeit der Amplitude für ein freies Teilchen gerade durch eine ebene Welle von der obigen Form beschrieben wird.

Betrachten wir diesen Zusammenhang im Detail:

Zunächst müssen wir das Experiment und das genaue Ereignis festlegen, für das wir die Amplitude angeben wollen. Betrachten wir dazu wieder den Doppelspaltversuch. Wir wollen annehmen, dass die Teilchenquelle Teilchen mit (zumindest annähernd) konstanter Energie und Impuls in Richtung Doppelspalt aussendet. Details wie den Spin, die wir erst später betrachten, wollen wir hier vernachlässigen. Wir stellen nun einen Teilchendetektor am Ort x zwischen Quelle und Doppelspalt auf und fragen: wie lautet die Amplitude (nennen wir sie A) für das Ereignis, dass ein Elektron an diesem Ort x zwischen Quelle und Doppelspalt zur Zeit t eintrifft?

Die Antwort lautet: diese Amplitude A ist gegeben durch


A = a  exp [-i (wt - k x)]

Dabei ist a eine komplexe Zahl, die nicht vom Ort und der Zeit abhängt. Sie ist abhängig davon, wie viele Elektronen die Teilchenquelle pro Sekunde aussendet, und sie kann ggf. noch eine komplexe Phase enthalten. Das raum-zeitliche Verhalten der Amplitude A entspricht also dem einer ebenen Welle mit Frequenz w und Wellenzahlvektor k .

Dabei haben wir natürlich eine Reihe von Näherungen und Vereinfachungen vorgenommen:

Wir wollen diese Näherungen hier einfach akzeptieren und (zu Recht) annehmen, dass man Experimente durchführen kann, in denen sie gerechtfertigt sind. Dabei dürfen wir aber nicht vergessen, dass es durchaus Experimente geben kann, in denen man genauer hinsehen muss (evtl. muss man dann beispielsweise die ankommenden Elektronen durch Überlagerungen ebener Wellen beschreiben, oder durch Wellenzüge mit endlicher räumlicher und zeitlicher Ausdehnung).

Zurück zu unseren Überlegungen:

Die Wahrscheinlichkeit P, dass ein Elektron zur Zeit t am Ort x vom Detektor aufgefunden wird, ist damit P = |A|2 = |a|2. Sie hängt werden vom Ort noch von der Zeit ab. Mit anderen Worten: die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron irgendwo zwischen Teilchenquelle und Doppelspalt anzutreffen, ist zu jeder Zeit gleich groß. Dies entspricht dem Bild von einem kontinuierlichen Teilchenstrahl zwischen Teilchenquelle und Doppelspalt.

Wenn nun aber die Wahrscheinlichkeit für das Auffinden des Elektrons vor dem Doppelspalt räumlich und zeitlich konstant ist, wozu braucht man eigentlich die ebene Welle noch? Hätte man nicht einfach A = a verwenden können? Tatsächlich fällt der Unterschied vor dem Doppelspalt nicht auf, denn es gibt dort keine Interferenz. Der Wellencharakter der Amplitude kommt erst dort zum Vorschein, wo es Interferenz zwischen Amplituden gibt, also hier hinter dem Doppelspalt.

Vergleichen wir die Situation mit der eines Lichtstrahls, der auf den Doppelspalt trifft. Dabei entspricht die Intensität des Lichtstrahls unserer quantenmechanischen Wahrscheinlichkeit. Auch hier ist die Intensität des Lichtstrahls vor dem Doppelspalt konstant. Die Wellenlänge des Lichts kann man erst aus dem Interferenzbild hinter dem Doppelspalt erkennen. Genauso verhält es sich mit der Amplitude bei dem Elektronenstrahl. Die Amplitude, von Spalt a bzw. b aus den Ort x auf dem Leuchtschirm zu erreichen, hat die Gestalt einer Kugelwelle, die von Spalt a bzw. b ausgeht und die die Frequenz w und den Betrag der Wellenzahl |k| besitzt.

Wir hatten gesagt, dass die Elektronen die Energie E und den Impuls p aufweisen. Andererseits kennen wir nun die Amplitude A und wissen, dass sie einer ebenen Welle mit Frequenz w und Impulsvektor p entspricht. Diese Amplitude legt das physikalische Verhalten freier Elektronen fest. Es muss daher einen Zusammenhang zwischen dieser ebenen Welle und den Teilcheneigenschaften Energie und Impuls geben. Dieser Zusammenhang ist sehr einfach:

Die Energie eines freien Teilchens ist proportional zur Frequenz der zugehörigen Amplitude, und der Impuls ist proportional zur Wellenzahl. Der Proportionalitätsfaktor ist in beiden Fällen derselbe. Er wird Plancksches Wirkungsquantum genannt und mit dem Buchstaben h bzw. (h/2p) abgekürzt.

Es gilt


E = (h/2p) w

p = (h/2p) k

und damit


A = a exp [-(i/(h/2p)) (E t - p x)]

Dies ist das ganze Geheimnis, das hinter Begriffen wie Welle-Teilchen-Dualismus steckt! Freie Teilchen haben keine Flugbahn, aber sie besitzen Energie und Impuls. Man kann für ihr Auffinden eine Amplitude in Form einer ebenen Welle angeben, bei der Frequenz und Wellenzahl durch Energie und Impuls festgelegt sind.

Das Plancksche Wirkungsquantum muss im Experiment bestimmt werden. Es stellt eine neue, universelle Naturkonstante dar. Diese Naturkonstante ist erforderlich, da für Energie und Impuls bereits aus der klassichen Physik Messvorschriften und zugehörigen Maßeinheiten bekannt sind und man diese nun mit dem Ergebnis von Interferenzexperimenten vergleichen kann.

Es ist am günstigsten, sich nicht den Wert des Planckschen Wirkungsquantums selbst zu merken, sondern das Produkt aus Wirkungsquantum und Lichtgeschwindigkeit, da dieses häufig in den Formeln vorkommt. Es ist


(h/2p)  c » 200   MeV  fm

In den Büchern findet man häufig eine Formel für die sogenannte de-Broglie-Wellenlänge l. Dies ist einfach die Wellenlänge der ebenen Welle, also k = 2 p/ l. Aus p = (h/2p) k folgt dann


l = h / p

Energie und Impuls eines freien Teilchens haben die aus der Mechanik bekannten Eigenschaften, denn die Mechanik muss sich als Grenzfall aus der Quantentheorie ableiten lassen (auf Details dazu wollen wir hier nicht eingehen).

In der Relativitätstheorie können Energie und Impuls zu den Komponenten eines sogenannten Viererimpulsvektors


p = æ
ç
è
E/c
p
ö
÷
ø

zusammengefasst werden. Dies gilt auch in der Quantentheorie, wenn man die Relativitätstheorie einbezieht.

Die entscheidende Eigenschaft eines solchen Vierervektors ist, dass er bei einer Lorentztransformation mit der Lorentzmatrix L multipliziert wird (dies hatten wir in früheren Kapiteln hergeleitet). Daraus folgt, dass sich die relativistische Metrik g(p,p) = (E/c)2 - p2 bei Lorentztransformationen nicht ändert. Es gilt g(p,p) = (mc)2 oder nach der Energie freigestellt E2 = (mc2)2 + (pc)2 .

Analog werden Zeit t und Ort x in der Relativitätstheorie zu einem Vierervektor


x = æ
ç
è
ct
x
ö
÷
ø

zusammengefasst.

Da sowohl p als auch x relativistische Vierervektoren sind, ändert sich der Ausdruck g(p,x) = E t - p x bei einer Lorentztransformation nicht, denn g(L p, lx) = g(p,x) (genau so waren Lorentzmatrizen ja definiert). Wir können die Amplitude für ein freies Teilchen daher auch in der Form


A = a  exp [-(i/(h/2p)) g(p,x)]

schreiben. Diese Form ist für relativistische Betrachtungen sehr nützlich! Eine Anmerkung zur Schreibweise: In der physikalischen Literatur wird g(p,x) auch oft als px oder pmxm geschrieben. Gemeint ist die relativistische Metrik zweier Vierervektoren, wie wir sie in Kapitel 3.1 kennengelernt haben.

Damit sind wir zunächst am Ende der Betrachtung freier Teilchen. Wir kennen nun die raum-zeitliche Abhängigkeit der Amplitude freier Teilchen und den Zusammenhang dieser Amplitude mit den Teilcheneigenschaften Energie und Impuls. Lassen wir Details wie den Spin eines Elektrons oder die Polarisation eines Photons beiseite, so können wir diese Amplitude auf alle freien Teilchen anwenden, sogar auf masselose Teilchen wie das Photon!

Komplikationen, die Spin und Polarisation verursachen, werden wir in späteren Kapiteln betrachten.


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