Kapitel 4
Die Quantentheorie

9  Darstellungen der Galileigruppe

In den letzten beiden Kapiteln haben wir die Strahldarstellungen von Raum-Zeit-Translationen und von Drehungen auf dem Hilbertraum kennengelernt. Dabei spielte es keine Rolle, ob wir relativistische oder nichtrelativistische Dynamik voraussetzen.

Das ändert sich nun: Wir wollen uns gezielt den nichtrelativistischen Fall anschauen, d.h. wir betrachten Strahldarstellungen der Galileigruppe. Da wir Translationen und Drehungen schon kennengelernt haben, fehlen uns dazu nur noch die nichtrelativistischen Boosts.

Insgesamt ist eine vollständige Behandlung der Strahldarstellungen der Galileigruppe relativ aufwändig. Man findet sie beispielsweise in John F. Dawson: Quantum Mechanics: Fundamental Principles and Applications, Kapitel 4 sowie in Hendrik van Hees: Prinzipien der Quantentheorie, März 2003, Kapitel 3.4. Ich möchte daher hier nicht alles in voller Allgemeinheit darstellen, sondern nur einige besonders interessante Aspekte herausgreifen.

Die Struktur der Galileigruppe kennen wir aus Kapitel 2.4. Der Ortsvektor x wird auf den Ortsvektor   x' = ut + Rx   abgebildet. Dabei ist u die Boostgeschwindigkeit und R eine räumliche Drehmatrix. Hinzu kommen noch die Raum-Zeit-Translationen.

Da wir Drehungen und Raum-Zeit-Translationen schon kennen, wollen wir uns auf die Boosts konzentrieren und sie mit b(u) bezeichnen:

nichtrelativistischer Boost:

  b(u) x   :=   u t   +   x

Der Punkt   b(u) x   befindet sich also bei t = 0 noch beim Startpunkt x und bewegt sich dann mit der Geschwindigkeit u mit wachsender Zeit davon weg. Man kann sich vorstellen, dass man ihn in einen fahrenden Zug gesetzt hat, der sich mit der Geschwindigkeit u bewegt. Die drei Komponenten der Boostgeschwindigkeit u bilden dabei die drei Gruppenparameter der Boosts. Dabei kommt auch die Zeit t als Parameter vor. Bis auf   t   ist erst einmal alles analog zu den räumlichen Translationen. Der Unterschied zu den Translationen muss also mit dem Zeitparameter t zusammenhängen.

Analog zu den räumlichen Translationen können wir wieder Generatoren der Boosts einführen. Diese unterscheiden sich von den Generatoren der Translationen nur durch Multiplikation mit t. Daher sind auch die Vertauschungsrelationen der Boost-Generatoren in vielen Fällen analog zu denen der Translations-Generatoren. So vertauschen die Boost-Generatoren untereinander, sie vertauschen mit den Translations-Generatoren und ihre Kommutatoren mit den Drehgeneratoren sind analog zu denen der Translations-Generatoren mit den Drehgeneratoren.

Nun zur Quantentheorie: Die Generatoren der Boosts werden jetzt durch hermitesche Operatoren auf dem Hilbertraum dargestellt, die wir mit K bezeichnen wollen (analog zum Impulsoperator P, der zu den räumlichen Translationen gehört). Dabei ist die Vorzeichenkonvention üblicherweise analog zu der beim Hamiltonoperator, also umgekehrt zu der beim Impulsoperator. Ein Boost wird dann durch den entsprechenden unitären Operator dargestellt:

Unitärer Darstellungsoperator eines nichtrelativistischen Boosts:

  Tb(u)   =   ei u K

analog zum Translationsoperator   Tg(a)   =   e−i a P   aus Kapitel 4.7 . Bezüglich Drehungen verhält sich K ganz analog zu P . Und wie bei P vertauschen auch die Komponenten von K miteinander. Eine Besonderheit gibt es allerdings: Zwar vertauschen Boosts und Translationen miteinander, also vertauschen auch die entsprechenden Generatoren miteinander. Beim Übergang zur Strahldarstellung der Lie-Algebra auf dem Hilbertraum gibt es jedoch mögliche Zentralladungen, und die lassen sich bei   [Pi, Kj]   nicht wegdiskutieren. Schauen wir uns das genauer an:


Zentralladungen:

Die Lie-Algebra der Operatoren P, J und H kennen wir bereits aus Kapitel 4.8. Hinzu kommen nun die Kommutatoren von K mit sich selber sowie mit P, J und H . Da sich Boosts nur durch das Auftreten der Zeit t von Translationen unterscheiden, sehen die Kommutatoren von K mit sich selber sowie mit J genauso aus wie die entsprechenden Kommutatoren mit P an Stelle von K. Den Kommutator von K mit H schauen wir uns weiter unten an. Bleibt also der Kommutator von K mit P.

In Kapitel 4.6 haben wir gelernt, dass Zentralladungen in der Lie-Algebra zu projektiven Phasen in der Darstellung der Gruppe auf dem Hilbertraum führen. In Kapitel 4.8 haben wir dann gesehen, wann sich diese Zentralladungen in den Operatoren absorbieren lassen (Drehimpulsalgebra) oder wann sie aufgrund der Struktur der Lie-Algebra wegfallen (Kommutator der Impulse). Man kann nun bei der Lie-Algebra der Galileigruppe zeigen, dass man alle Zentralladungen loswerden kann bis auf eine: Im Kommutator   [Pi, Kj]   können Zentralladungen auftreten.

In Kapitel 4.8 haben wir gesehen, dass aufgrund der Drehungen im Kommutator   [Pi, Pj]   keine Zentralladungen auftreten können. Was also ändert sich, wenn wir Pi durch Ki ersetzen? Machen wir also den Ansatz

  [Pi, Kj]   =   −i Mij 1

(das Vorzeichen ist so gewählt, dass wir später M bequem als Masse interpretieren können). Anders als   [Pi, Pj]   ist aber   [Pi, Kj]   nicht antisymmetrisch in den Indices i und j, denn es handelt sich ja um verschiedene Operatoren. Also muss auch die Zentralladung Mij nicht antisymmetrisch in i und j sein. Das ist der entscheidende Unterschied! schauen wir uns analog zu Kapitel 4.8 an, was die folgende Jacobi-Identität dann aussagt (mit Ki an Stelle von Pi):

  [Pi, [Kj, Jk]]   +   [Jk, [Pi, Kj]]   +   [Kj, [Jk, Pi]]   =   0

Zentralladungen in den inneren Kommutatoren können wir wieder weglassen denn sie fallen in den äußeren Kommutatoren sowieso weg. Damit fällt der zweite Term komplett weg und wir erhalten (mit Summe über doppelte Indices):

  [Pi, i εjkl Kl]   +   [Kj, −i εikl Pl]   =   0

Mit   [Pi, Kj]   =   −i Mij 1   ergibt das   i εjkl (−i) Mil   +   i εikl (−i) Mlj   =   0   oder vereinfacht

  εjkl Mil   +   εikl Mlj   =   0

Wir können nun wieder die Terme mit i = k aufsummieren, als mit δik kontrahieren. Dabei fällt der zweite Tem weg und wir erhalten

  εjil Mil   =   0  

Für j = 1 bedeutet das beispielsweise:   M23 − M32 = 0   , also   M23 = M32   . Analog ist es bei den übrigen j-Werten. Die Zentralladungen   Mij   müssen also symmetrisch in den Indices sein! Damit ist auch klar, warum bei   [Pi, Pj]   die Zentralladungen wegfallen, denn dort müssen sie zugleich antisymmetrisch sein, was nur geht, wenn sie alle gleich Null sind.

Man kann sich nun weiter überlegen, dass man durch eine geeigntete Umdefinition (Drehung) der Operatoren die symmetrische Matrix   Mij   diagonalisieren kann, und dass das Ergebnis schließlich lautet:

Zentralladung in der projektiven Darstellung der Galilei-Lie-Algebra:

  [Pi, Kj]   =   −i M δij 1

Dabei ist M eine beliebige reelle Zahl. Wir werden noch sehen, dass wir M als Masse interpretieren können (daher die Bezeichnung durch den Buchstaben M). Wir können nun formal einen Massenoperator M einführen, der auf dem Hilbertraum M als reellen Eigenwert hat. Dabei dürfen Hilbertraumvektoren zu verschiedenem M nicht überlagert (addiert) werden -- wieder eine Superauswahlregel. Dann können wir den Massenoperator M in die Lie-Algebra der anderen Operatoren mit aufnehmen und

  [Pi, Kj]   =   −i M δij 1

schreiben. So etwas nennt man die zentrale Erweiterung der Lie-Algebra bzw. der Lie-Gruppe (siehe Kapitel 4.6). Dabei vertauscht M mit allen anderen Operatoren der Lie-Algebra, ist also ein sogenannter Casimiroperator. Der andere Casimiroperator ist übrigens der quadrierte Drehimpulsoperator J2. Die simultanen Eigenräume von M und J2 definieren die irreduziblen Darstellungen der Galileigruppe, d.h. die Darstellungsoperatoren der Galileigruppe führen nicht aus den Räumen heraus und sie können jeden Vektor innerhalb eines solchen Eigenraums in jeden anderen Vektor in diesem Raum überführen. Wir kennen das bereits aus Kapitel 4.8.


Zeittranslationen und Boosts:

Nun fehlt uns nur noch der Kommutator von K mit H. Hier gibt es ebenfalls einen Unterschied zum Kommutator von P mit H, und zwar bereits bei den entsprechenden Generatoren der Galileigruppe. Grund: das Auftreten des Zeitparameters t unterscheidet Boosts von räumlichen Translationen, was sich bei Zeittranslationen auswirkt. Während Zeittranslationen mit räumlichen Translationen und Drehungen vertauschen, vertauschen sie nicht mit den Boosts. Am Besten sieht man das in der vierdimensionalen Darstellung aus Kapitel 2.4 (wobei g die Zeit- bzw. Raumtranslationen bezeichnet):

  g(τ)   b(u)   (t, x)   =   g(τ)   (t , ut + x)   =   (t + τ , ut + x)
  b(u)   g(τ)   (t, x)   =   b(u)   (t + τ, x)   =   (t + τ , u (t + τ) + x)   =   g(τ u)   (t + τ , ut + x)   =   g(τ u)   g(τ)   b(u)   (t, x)

Also ist   b(u) g(τ)   =   g(τ u) g(τ) b(u)   oder umgestellt

  b(u) g(τ) b(u)−1  =   g(τ u) g(τ)  

Ein Boost in −u -Richtung mit anschließender Zeittranslation und Boost in u -Richtung wirkt also wie eine Raum-Zeit-Translation um den Vektor   (τ, τ u)   .

Die Generatoren von Boosts, Drehungen usw. wollen wir in Anlehnung an die quantenmechanischen Operatoren mit A(K) usw. bezeichnen, d.h. beispielsweise   b(u) = ei u A(K)   . In früheren Kapiteln hatten wir statt dessen Bezeichnungen wie Ai, Bi etc. verwendet, aber das wird hier zu verwirrend. Es gilt also:

  ei u A(K)   ei τ A(H)   e−i u A(K)   =   e−i τ u A(P)   ei τ A(H)

Ableitung nach τ bei τ = 0 ergibt:

  ei u A(K)   i A(H)   e−i u A(K)   =   −i u A(P)   +   i A(H)

und anschließende Ableitung nach u bei u = 0 ergibt:

  i A(K)   i A(H)     +   i A(H)   (−i) A(K)   =   −i A(P)

also

  [A(K), A(H)]   =   i A(P)

Man kann zeigen, dass hier beim Übergang zu den quantenmechanischen Operatoren keine Zentralladung auftritt, so dass sich diese Beziehung unverändert auf die quantenmechanischen Operatoren überträgt:

  [K, H]   =   i P

Mögliche Eigenwerte von K sind also keine zeitlichen Erhaltungsgrößen. Daher spielt die Suche nach Eigenwerten von K im Folgenden auch keine Rolle, anders als bei P.


Energie, Impuls und Boosts:

Die Operatoren H und P vertauschen, d.h. es gibt Eigenzustände   |E, pñ   mit Eigenwert E von H und Eigenwert p von P . Möglicherweise gibt es mehrere solcher Vektoren, die wir dann noch durch einen weiteren Sammelindex α unterscheiden können:   |E, p, αñ   .

Wie wirkt sich nun ein Boost auf den Impuls eines Zustandes aus? Was ist also   P   ei u K   |E, pñ   ?

Zwar vertauschen bei der Galileigruppe die Generatoren von Boosts und Translationen, aber auf der Quantenebene ist das wegen der Zentralladung nicht mehr der Fall. Versuchen wir also, schrittweise P durch die Exponentialreihe ei u K nach rechts durchzutauschen:

  P (u K)n   =  
  =   ( −i M u   +   (u K) P )   (u K)n−1   =  
  =   −i M u (u K)n−1   +   (u K) P (u K)n−1   =  
  =   −i M u (u K)n−1   +   (u K)   ( −i M u   +   (u K) P )   (u K)n−2   =  
  =   −i M u (u K)n−1   +   −i M u (u K)n−1   +   (u K)2 P (u K)n−2   =  
  =   ...   =  
  =   n (−i) M u (u K)n−1   +   (u K)n P

Für die Exponentialreihe gilt damit (wobei wir den Term für n=0 herausziehen):

    P   ei u K   =  
  =   P   ( 1   +   ∑n=1   in / n!   (u K)n )   =  
  =   ( P   +   ∑n=1   in / n!   ( n (−i) M u (u K)n−1   +   (u K)n P )   =  
  =   ∑n=1   in / n!   n (−i) M u (u K)n−1   +   ∑n=0   in / n!   (u K)n P   =  
  =   ∑n=1   in−1 / (n−1)!   (u K)n−1 M u   +   ∑n=0   in / n!   (u K)n P   =  
  =   ei u K   ( M u + P )

Also ist

  P   ei u K   |E, pñ   =
  =   ei u K   ( M u + P )   |E, pñ   =
  =   ei u K   ( M u + p )   |E, pñ   =
  =   ( M u + p )   ei u K   |E, pñ  

Der geboostete Zustand   ei u K   |E, pñ   hat also den Impuls   M u + p   . Genau das erwarten wir von dem Impuls im nichtrelativistischen Fall. Ein ruhendes Objekt mit Impuls p = 0 hat nach dem Boost den Impuls   p' = M u   -- das ist der Impuls eines nichtrelativistischen Objektes, das sich mit Geschwindigkeit u bewegt. Man sieht, wie wichtig hier die Zentralladung M und damit die projektive Phase ist! Der Fall ohne Zentralladung und ohne projektive Phase (also M = 0 ) führt nicht zu Darstellungen der Galileigruppe, die sich physikalisch interpretieren lassen. Masselose Teilchen machen in der nichtrelativistischen Physik keinen Sinn! Das ist bei der Poincaregruppe anders.

Nun zur Energie eines geboosteten Zustandes: Auch hier kann man analog zu oben schrittweise H durch die Exponentialreihe ei u K nach rechts durchtauschen. Da die Rechnung etwas länglich ist, möchte ich hier nur das Ergebnis angeben (kann man ganz gut überprüfen, indem man die Exponentialreihen jeweils bis zur zweiten Ordnung ausschreibt):

  H   ei u K   |E, pñ   =   ( E   +   u p   +   M u2 / 2 )   ei u K   |E, pñ  

Dabei tritt wieder die Zentralladung M auf. Sie entsteht dadurch, dass beim Vertauschen von H mit K der Impuls P ins Spiel kommt. Das Vertauschen von P mit K führt dann zu Termen mit M.

Die obige Gleichung können wir mit Hilfe des Massenoperators M auch schreiben als

  e−i u K   H   ei u K   =   H   +   u P   +   M u2 / 2

Hier ist die entsprechende Gleichung für die Gruppenelemente von weiter oben:

  ei u A(K)   A(H)   e−i u A(K)   =   A(H)   −   u A(P)

Wir sehen, dass sich diese Gleichung nicht eins-zu-eins auf die quantenmechanischen Operatoren überträgt. Es kommt ein Zentralladungsterm   M u2 / 2   hinzu! Fassen wir zusammen:

Energie und Impuls bei Boosts:

  H   ei u K   |E, pñ   =   ( E   +   u p   +   M u2 / 2 )   ei u K   |E, pñ  

  P   ei u K   |E, pñ   =   ( M u   +   p )   ei u K   |E, pñ  

Wenn man mit einem Zustand mit Impuls p = 0 startet, so sind Energie E' und Impuls p' nach dem Boost demnach gegeben durch

  E'   =   E   +   M u2 / 2
  p'   =   M u

Die obere Gleichung zeigt, dass man in der nichtrelativistischen Physik immer nur Energiedifferenzen angeben kann. Die untere Gleichung können wir für M ungleich Null nach u auflösen und oben einsetzen:   u = p'/M   und somit

  E'   =   E   +   p' 2 / 2M

Das ist die bekannte Beziehung zwischen Energie und Impuls in der nichtrelativistischen Physik. Sie ermöglicht es, die sogenannte innere Energie W zu definieren:

nichtrelativistischer Hamiltonoperator und innere Energie:

  H   =:   P 2 / 2M   +   W

Dabei definiert diese Gleichung den Operator W, der als der Operator der inneren Energie des Objektes interpretiert werden kann, denn er vertauscht mit den Darstellungsoperatoren der Galileitransformationen (siehe John F. Dawson: Quantum Mechanics: Fundamental Principles and Applications, Kapitel 4.2.5).

So vertauscht W beispielsweise mit Boosts:

  W   ei u K   |E, pñ   =  
  =   ( H   −   P 2 / 2M )   ei u K   |E, pñ   =  
  =   ( ( E   +   u p   +   M u2 / 2 )   −   ( M u   +   p ) 2 / 2M )   ei u K   |E, pñ   =  
  =     ( E   +   u p   +   M u2 / 2   −   M u2 / 2   −   u p   −   p2 / 2M )   ei u K   |E, pñ   =  
  =     ( E   −   p2 / 2M )   ei u K   |E, pñ   =  
  =   ei u K   ( H   −   P 2 / 2M )   |E, pñ   =  
  =   ei u K   W   |E, pñ

Meist ist es dieser innere Energieoperator W, für den man sich in der nichtrelativistischen Quantenmechanik nun weiter interessiert. Um seine Struktur anzugeben, benötigt man weitere Informationen, die über die Betrachtung der Galileigruppe hinausgehen.

Damit wollen wir unsere Betrachtung der Galileigruppe in der Quantentheorie beenden. Natürlich gäbe es hier noch viele weitere Dinge zu untersuchen, aber wir wollen es nicht übertreiben, denn schließlich ist die Poincaregruppe die korrekte Symmetriegruppe der Raumzeit, nicht die Galileigruppe. Weitere Informationen findet man z.B. in John F. Dawson: Quantum Mechanics: Fundamental Principles and Applications, Kapitel 4, in Hendrik van Hees: Prinzipien der Quantentheorie, März 2003, Kapitel 3.4 sowie in D. Schütte: Darstellungstheorie der Poincaré-Gruppe, Kapitel 2 (Die Galilei-Gruppe).


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last modified on 02 January 2007