Kapitel 5
Die allgemeine Relativitätstheorie

1   Gekrümmte Räume (über die Grundlagen der Differentialgeometrie)

10   Lie-Ableitung und Killingsche Vektorfelder

Der Fluss eines Vektorfeldes.

Wer sich mit allgemeiner Relativitätstheorie oder mit geometrischen Formulierungen der Hamiltonschen Mechanik beschäftigt, dem begegnen irgendwann die Begriffe Lie-Ableitung und Killingsche Vektorfelder. Diese Begriffe werden benötigt, um Symmetrien aufzudecken, sie auszunutzen und beispielsweise Konstanten der Bewegung zu finden. In Kapitel 5.1.7 Torsion ist uns bereits die Lie-Klammer begegnet, die ihren Ursprung ebenfalls in der Lie-Ableitung hat. Schauen wir uns daher einmal an, was sich dahinter verbirgt:

Wir beginnen mit der anschaulichen Vorstellung eines Strömungsfeldes auf der Mannigfaltigkeit M. Dabei können wir uns vorstellen, wie sich kleine Staubkörnchen auf der Mannigfaltigkeit wie von einer Wasserströmung angetrieben entlang von Stromlinien fortbewegen. Besonders interessant werden später Strömungen sein, die zu einer Symmetrie gehören, beispielsweise eine Strömung von West nach Ost auf einer Kugeloberfläche.

Beginnen wir zur Zeit Null beispielsweise mit einem Staubkorn an einem Punkt p. Zu einem späteren Zeitpunkt t wird das Staubkorn sich dann aufgrund der Strömung an einem anderen Punkt q befinden. Um diese Fortbewegung mathematisch zu beschreiben, brauchen wir eine Abbildung   Φt   , die die Fortbewegung von p nach q in der Zeitspanne t bewirkt:   q   =   Φt(p)  . Demnach ist   Φt   eine Abbildung, die jedem Punkt p von M einen anderen Punkt q von M zuordnet (nämlich den, an dem sich das bei p gestartete Staubkorn nach der Zeit t befindet). Wir fordern, dass dies in differenzierbarer Weise geschieht, d.h.   Φt   ist für jeden Wert von t ein Diffeomorphismus auf M. Außerdem soll natürlich   p   =   Φ0(p)   sein, d.h.   Φ0 = id .


Der Fluss Φt transportiert in der Zeit t einen jeden Punkt p (in Blau dargestellt) zu einem neuen Punkt q (in Rot dargestellt; genau genommen ist t einfach nur ein reeller Parameter, entspricht aber in unserer Fluss-Anschauung der Fließdauer).


Die Abbildung   Φt   hat nun eine interessante Gruppeneigenschaft: Ein Staubkorn, das im Punkt p startet, befindet sich nach der Zeit t am Punkt   q   =   Φt(p)  . Nach einer weiteren Zeitspanne s befindet es sich am Punkt   r   =   Φs(q)   =   Φst(p))   =   (Φs ο Φt )(p)  . Man kann aber auch direkt die Zeitspanne s + t betrachten: in dieser Zeitspanne bewegt sich das Staubkorn von p nach   r   =   Φs + t(p)  . Es muss also gelten:

  • Fluss-Eigenschaft:

      Φs + t   =   Φs ο Φt

Wegen dieser Eigenschaft bezeichnet man die Abbildungen Φt als einparametrige Gruppe von Diffeomorphismen. Man sagt auch, Φt ist ein Fluss, denn dadurch wird der Fluss aller Punkte über einen Zeitraum t beschrieben. Eine Flusslinie durch einen Punkt p ist dann eine Kurve   ρp(t)   :=   Φt(p)  . Wegen   Φ0 = id   ist dabei   ρp(0) = p  .

Zu jedem Punkt p gibt es eine solche Flusslinie ρp(t), wobei man natürlich viele dieser Flusslinien durch eine Parameterverschiebung ineinander umwandeln kann. Jede Flusslinie ρp(t) ergibt in p einen eindeutigen Tangentialvektor u(p), der über

  • Generierendes Vektorfeld (Geschwindigkeitsfeld des Flusses):

      u(p) φ   :=   dφ( ρp(t) ) / dt |t = 0   =   dφ( Φt(p) ) / dt |t = 0

definiert ist (φ ist dabei eine skalare Funktion auf M). Also liefert u(p) die Änderung von φ, aufgrund des Flusses. Oder anschaulich (man denke an eine Einbettung): u(p) ist die Geschwindigkeit, mit der sich ein Staubkorn aufgrund des Flusses im Punkt p bewegt. Das Tangentialvektorfeld u ist also das Geschwindigkeitsfeld des Flusses.

Man kann nun leicht zeigen, dass u den Fluss eindeutig bestimmt, indem man eine explizite Formel für Φt(p) aufstellt. Dazu starten wir mit   Φs + tμ (p)   =   Φsμt(p))  , wobei der Index μ oben ausdrückt, dass wir die μ-te Koordinate meinen. Φtμ(p) ist also die μ-te Koordinate des weitergeflossenen Punktes Φt(p) . Präziser − aber auch umständlicher − wäre die Schreibweise   [f μ ο Φt](p)   mit der Koordinatenfunktion f. Wir können nun in t = 0 nach t ableiten, wobei wir verwenden, dass Φsμ eine skalare Funktion ist:

  dΦs + tμ (p) / dt |t = 0   =   dΦsμt(p)) / dt |t = 0   =   dΦsμp(t)) / dt |t = 0   =   u(p) Φsμ

Nun ist aber   dΦs + tμ (p) / dt |t = 0   dasselbe wie   dΦs'μ (p) / ds' |s' = s  , d.h. wir haben die Differentialgleichung   dΦs'μ (p) / ds' |s' = s   =   u(p) Φsμ  . Wir können nun statt s wieder t schreiben und die Schreibweise noch etwas vereinfachen:   dΦtμ (p) / dt   =   u(p) Φtμ  . Diese Differentialgleichung hat die eindeutige Lösung

  • Exponentialdarstellung des Flusses (in Koordinatendarstellung):

      Φtμ(p)   =   et u(p)   Φ0μ   =   f μ(p)   +   t uμ(p)   +   Terme höherer Ordnung in t

Dabei ist   Φ0μ   =   f μ ο id   =   f μ   die μ-te Koordinatenfunktion. Die Exponentialfunktion ist dabei über die Reihenentwicklung definiert. Der erste Term dieser Reihenentwicklung berechnet sich über   u(p) f μ   =   df μ( Φt(p) ) / dt |t = 0   =   df μ( ρp(t) ) / dt |t = 0   =   uμ(p)   (denn u(p) ist Tangentialvektor zur Kurve ρp(t) in t = 0 , siehe auch Kapitel 5.1.4 Tangentialräume und Vektorfelder ). Physiker schreiben auch gerne
  xμ(t)   =   et u(p)   xμ   =   xμ(0)   +   t uμ(p)   +   ...  
wobei   xμ(t)   die Koordinaten der weitergeflossenen Punktes sind. Man sieht hier sehr schön, wie u(p) (bzw. seine Komponenten) die Geschwindigkeit des Flusses darstellt. Da das Geschwindigkeitsfeld u über die obige Formel den Fluss gleichsam erzeugt, wird es auch generierendes Vektorfeld genannt.


Das Tangentialvektorfeld u (dargestellt durch die blauen Pfeile) erzeugt einen Fluss Φt auf der Mannigfaltigkeit. An jedem Punkt p ist dabei u(p) Tangentialvektor einer Flusslinie. Anschaulich ist u(p) die Fluss-Geschwindigkeit im Punkt p.



Pull-Back und Push-Forward:

Der Fluss ist eine Abbildung von M nach M. An jedem Punkt von M sind nun andererseits Tangentialräume, Co-Tangentialräume etc. definiert. Kann man den Fluss vielleicht dazu verwenden, um auf naheliegende Weise eine Abbildung zwischen den verschiedenen Tangentialräumen (oder zwischen den Co-Tangentialräumen) zu definieren?

Das geht tatsächlich, und zwar über sogenannte Pull-Backs und Push-Forwards der Fluss-Abbildung (siehe z.B. Lie Derivatives and (Conformal) Killing Vectors, http://panda.unm.edu/courses/finley/p570/handouts/killingnew.pdf ). Was versteht man darunter?

Fangen wir mit einer skalaren Funktion φ auf M an. Stellen wir uns dazu vor, dass die Funktionswerte um einen Punkt p herum einen Berg bilden. Wir wollen nun erreichen, dass dieser Berg mit dem Fluss der Staubkörnchen mitwandert. Zur Zeit t soll sich der Berg also am weitergeflossenen Punkt   q   =   Φt(p)   befinden. Wir wollen also eine neue Funktion   Φt* φ   definieren, die an jedem weitergeflossenen Punkt   q   =   Φt(p)   denselben Wert aufweist wie die ursprüngliche Funktion φ ihn am entsprechenden Ursprungspunkt p aufweist:

  • Push-Forward einer skalaren Funktion:

      [Φt* φ](Φt(p))   :=   φ(p)         oder gleichwertig dazu
      [Φt* φ](p)   :=   φ(Φt-1(p))

Man bezeichnet   Φt* φ   als den Push-Forward der Funktion φ , da die Funktionswerte zusammen mit dem Fluss mitwandern, also durch den Fluss gleichsam vorwärts gedrückt (push forward) werden. Dabei ist Φt* eine Abbildung von skalaren Funktionen auf andere skalare Funktionen. Man sagt auch, Φt* liefert eine Darstellung der einparametrigen Gruppe der Flüsse Φt im Raum der skalaren Funktionen (zum Darstellungsbegriff siehe Die Grenzen der Berechenbarkeit, Kapitel 5.4.2 Die Grundpfeiler: spezielle Relativitätstheorie und Quantentheorie ).


Push-Forward (Mitfließen) einer skalaren Funktion. In diesem Beispiel ist M einfach die reelle Achse R, und  φ(x)   =   e− x2   ist eine Gaußfunktion (blaue Kurve, wir setzen einfach x = p). Der Fluss verschiebt x um t Einheiten nach rechts:   Φt(x)   =   x + t   (im Bild ist t = 5). Der Push-Forward von φ ist dann gegeben durch   [Φt* φ](x)   =   φ(Φt-1(x))   =   φ(x − t)   =   e− (x − t)2  (rosa Kurve). Man sieht, wie die Kurve mit dem Fluss um 5 Einheiten nach rechts gewandert ist.


Physiker kennen Formeln wie die obige von aktiven Symmetrietransformationen. So kann man sich beispielsweise eine Kugeloberfläche vorstellen, und der Fluss Φt entspricht z.B. einer Drehung um die z-Achse um den Winkel t.

Man kann nun auch die Umkehrabbildung   Φt*−1   =:   Φt*   bilden, die dann die Gleichung

  • Pull-Back einer skalaren Funktion:

      [Φt* φ](p)   =   φ( Φt(p) )

erfüllt. Die Funktion   Φt* φ   hat also an der Stelle p den Wert, den die Funktion φ am weitergeflossenen Punkt   q   :=   Φt(p)   hat. Wenn wir uns vorstellen, dass die Funktionswerte von φ um den weitergeflossenen Punkt q herum einen Berg bilden, so hat die Funktion   Φt* φ   diesen Funktionswerte-Berg um den Ursprungspunkt p herum. Der Berg wurde also gleichsam vom weitergeflossenen Punkt q zum Ursprungspunkt p zurückgeholt (pull-back). Man nennt daher die Funktion   Φt* φ   den Pull-Back von φ. Man kann sich vorstellen, wie ein Berg mit dem Push-Forward mit dem Fluss mitwandert und durch den Pull-Back wieder in seine Anfangslage zurückgeholt wird. Oder man stellt sich vor, dass der Berg beim Push-Forward mit dem Fluss Φt mitwandert (also in t-Richtung), beim Pull-Back dagegen mit dem Umkehr-Fluss Φ− t genau entgegengesetzt (also in negativer t-Richtung) mitwandert.

Kann man diese Ideen auch auf Tangential-Vektorfelder übertragen? Das geht, denn auch Kurven werden durch den Fluss weitergetragen, und Tangentialvektoren sind ja durch Richtungsableitungen entlang dieser Kurven definiert. Bei einer Einbettung kann man sich sogar ganz anschaulich vorstellen, wie ein solcher Tangentialvektor mit der zugehörigen Kurve mitwandert.

Machen wir es konkret: Wir beginnen mit einer Kurve γ(s) , so dass in   p = γ(0)   ein entsprechender Tangentialvektor v(p) als Richtungsableitung definiert ist (den reellen Kurvenparameter wollen wir hier s statt t nennen, um ihn vom Fluss-Parameter t in Φt zu unterscheiden). Nun lässt man alle Punkte (und damit auch die Kurve) eine Zeit t mit dem Fluss Φt fließen. Aus der Kurve wird so die weitergeflossene Kurve   Φt(γ(s))  , die im weitergeflossenen Punkt   q = Φt(p)   wieder einen Tangentialvektor   [Φt* v](q)   als Richtungsableitung festlegt. Wir haben hier wieder die Notation Φt* verwendet, um nicht zu viele Symbole einzuführen; hier ist allerdings Φt* eine Abbildung, die Tangential-Vektorfelder auf Tangential-Vektorfelder abbildet (d.h. wir haben eine Abbildung im Tangentialbündel der Mannigfaltigkeit vor uns).


Push-Forward (Mitfließen) eines Tangentialvektors. Die Flusslinien sind blau dargestellt. Links haben wir eine Kurve (in rot), die einen Tangentialvektor (schwarz) definiert. Der Fluss erzeugt nach einer Zeit t daraus eine weitergeflossene Kurve (ebenfalls rot) und einen zugehörigen neuen Tangentialvektor (wieder in Schwarz). In Grau sind die Fluss-generierenden Vektoren u jeweils am Fußpunkt und an der Spitze der schwarzen Vektoren dargestellt -- man benötigt also den Flussvektor nicht nur am ursprünglichen Fußpunkt, sondern auch in einer Umgebung dieses Fußpunktes. Später wird für die Lie-Ableitung daraus folgen, dass auch die Ableitung von u im Fußpunkt p ins Spiel kommt.


Aus dieser Anschauung, aus der Definition der Tangentialvektoren als Richtungsableitungen und aus der obigen Gleichung   [Φt* φ](Φt(p))   =   φ(p)   ergibt sich die folgende Beziehung:

  v(p) φ   :=   ...

wir verwenden die Definition von v(p) als Richtungsableitung entlang der Kurve γ(s) im Punkt   p = γ(0)  

...   =   d φ(γ(s)) / ds |s = 0   =   ...

Nach Definition des Push-Forwards von φ können wir   φ(γ(s))   =     [Φt* φ](Φt(γ(s)))   einsetzen:

...   =   d [Φt* φ](Φt(γ(s))) / ds |s = 0   =  

wir verwenden die Definition von   [Φt* v](q)   als Richtungsableitung entlang der Kurve   Φt(γ(s))   im Punkt   q = Φt(γ(0))  

  =:   {[Φt* v](q)} Φt* φ

Wenn man also alle Punkte und mit ihnen die Kurven und die Funktionswerte von φ mit dem Fluss eine Zeit t fließen lässt, so bleiben die dabei mitfließenden Richtungsableitungen unverändert. Fassen wir zusammen: Der Push-Forward   Φt* v   des Vektorfeldes v ist definiert durch

  • Push-Forward eines Vektorfeldes:

      {[Φt* v](q)} Φt* φ   :=   v(p) φ

Diese Gleichung sieht ganz analog zur Definition des Push-Forwards bei skalaren Funktionen von oben aus:   [Φt* φ](q)   :=   φ(p)  , nur dass bei Vektorfeldern neben dem weitergeflossenen Punkt auch die weitergeflossene skalare Funktion gleichsam als Argument auftritt.

Der Pull-Back des Vektorfeldes lässt sich nun wieder als Umkehrabbildung des Push-Forwards definieren:   Φt* Φt* v   =   v  . Analog zum Pull-Back skalarer Funktionen (gegeben durch   [Φt* φ](p)   =   φ(q)   ) ergibt sich:

  • Pull-Back eines Vektorfeldes:

      {[Φt* v](p)} φ   :=   v(q) Φt* φ

Wieder kann man sich vorstellen, wie die Tangentialvektoren mit den Kurven beim Fluss mitschwimmen, so dass die Push-Forward-Tangentialvektoren entstehen, und wie man diese Push-Forward-Tangentialvektoren mit dem Pull-Back wieder in die ursprünglichen Tangentialvektoren zurückverwandeln kann. Oder man stellt sich analog zu oben vor, dass der Tangentialvektor beim Push-Forward mit dem Fluss Φt mitwandert (also in t-Richtung), beim Pull-Back dagegen mit dem Umkehr-Fluss Φ− t genau entgegengesetzt (also in negativer t-Richtung) mitwandert. Dass das so ist, zeigt die folgende kleine Überlegung: Man startet mit einem Tangentialvektor v(q) und der zugehörigen Kurve γ(s) mit γ(0) = q. Zum Pull-Back [Φt* v](p) gehört dann die rückwärts-geflossene Kurve Φt-1(γ(s)) , denn es gilt:

  {[Φt* v](p)} φ   =  
  =   d φ(Φt-1(γ(s))) / ds |s = 0   =  
  =   d [Φt* φ](γ(s)) / ds |s = 0   =  
  =   v(q) Φt* φ

Auch für Co-Tangentialvektorfelder kann man den Pull-Back und Push-Forward definieren. Erinnern wir uns: den Co-Tangentialvektor in einem Punkt p können wir uns als das Anstiegsverhalten (analog zum Gradienten) einer skalaren Funktion φ in diesem Punkt vorstellen. Diese Funktion φ wandert nun mit dem Fluss mit und generiert so das Mitwandern (den Push-Forward) des Co-Tangentialvektors. Das Wandern von φ in umgekehrter Richtung erzeugt analog den Pull-Back des Co-Tangentialvektors.

Machen wir es konkret: Wie bei den Tangential-Vektorfeldern starten wir einem Punkt p und einer Umgebung um diesen Punkt, auf der eine skalare Funktion φ und eine Kurve γ(s) definiert ist, die bei s = 0 durch p geht. Der zu φ gehörende Co-Tangentialvektor dφ(p) war dann definiert durch die Richtungsableitung als   dφ(p) v(p)   :=   v(p) φ   =   d φ(γ(s)) / ds |s = 0   (siehe Kapitel 5.1.5 Co-Tangentialräume und Differentialformen ). Durch den Fluss wird nun die Kurve γ(s) zur Kurve   Φt(γ(s))  . Der entsprechende Tangentialvektor in   q = Φt(p)   lautet   [Φt* v](q)   (siehe oben), und die mitgeflossene skalare Funktion lautet   Φt* φ  . Diese mitgeflossene skalare Funktion definiert nun den mitgeflossenen (push-forward) Co-Tangentialvektor   [Φt* dφ](q)  . Die Rechnung verläuft vollkommen analog zu den Tangentialvektoren, nur dass diesmal die Definition der Co-Tangentialvektoren verwendet wird:

  dφ(p) v(p)   :=  
  =   d φ(γ(s)) / ds |s = 0   =  
  =   d [Φt* φ](Φt(γ(s))) / ds |s = 0   =  
  =:   [Φt* dφ](q) [Φt* v](q)

In Kurzform könnte man auch schreiben:   Φt* dφ   :=   d (Φt* φ)  . Mit   ω(p) := dφ(p)   haben wir also insgesamt:

  • Push-Forward eines Co-Vektorfeldes:

      [Φt* ω](q) [Φt* v](q)   :=   ω(p) v(p)

Die Umkehrabbildung zu diesem Push-Forward ist dann gegeben durch

  • Pull-Back eines Co-Vektorfeldes:

      [Φt* ω](p) v(p)   :=   ω(q) [Φt* v](q)


Lie-Ableitung:

Schauen wir uns nun ein gegebenes Tangentialvektorfeld v an, das in einer Umgebung des Punktes p definiert ist. Wir lassen nun den Fluss Φt für eine sehr kurze Zeit t wirken, so dass der weitergeflossene Punkt   q = Φt(p)   noch in der Umgebung von p liegt. Das Tangentialvektorfeld v hat an dieser Stelle den Wert v(q), wobei v(q) nicht über den Fluss aus v(p) hervorgegangen sein muss. Wir haben einfach nur ein vorgegebenes Vektorfeld, dass in p den Wert v(p) und in q den Wert v(q) hat.

Wir können uns aber nun vorstellen, dass v(q) durch den Fluss aus einem Vektor w(p) hervorgegangen ist:   v(q) = [Φt* w](q)   oder mit dem Pull-Back ausgedrückt:   w(p) = [Φt* v](p)  . Da v(p) und w(p) im selben Tangentialraum liegen, können wir die Differenz bilden: Wie groß ist der Unterschied zwischen v(p) und dem Vektor, der über den Fluss den Vektor v(q) ergibt? Oder anders ausgedrückt: Wir interessieren uns dafür, in wieweit das Vektorfeld v nahe bei p von einem Vektorfeld abweicht, das durch Push-Forward (Mitfließen) aus v(p) entsteht (da p und q fast identisch sind, ist dies in erster Ordnung von t gleichbedeutend mit der Frage, in wieweit das Vektorfeld v in p von einem Vektorfeld abweicht, das durch Pull-Back aus v(q) entsteht).

Der Unterschied zwischen w(p) und v(p) wird für sehr kleine t proportional zu t mal einem Tangentialvektor aus T(p) anwachsen (denn v ist ein differenzierbares Vektorfeld, und Φt* w hängt ebenfalls differenzierbar von t ab). Wir wollen diesen Tangentialvektor mit   [Lu v](p)   bezeichnen und ihn die Lie-Ableitung von v in Richtung u nennen (warum diese Bezeichnung sinnvoll ist, kommt später). Dabei ist u das generierende Vektorfeld des Flusses Φt. Dann ist also für sehr kleine t

  w(p) − v(p)   =   [Φt* v](p) − v(p)   =   t   [Lu v](p)   +   ...

oder anders ausgedrückt:

  • Lie-Ableitung von Tangential-Vektorfeldern:

      [Lu v](p)   :=   limt → 0   { [Φt* v](p) − v(p) } / t   =   d [Φt* v](p) / dt |t = 0

Das zweite Gleichheitszeichen gilt, da   [Φt* v](p) − v(p)   =   [Φt* v](p) − [Φ0* v](p)   ist. Diese Definition der Lie-Ableitung lässt sich vollkommen analog auch für skalare Funktionen, Co-Tangentialvektoren und höhere Tensoren formulieren. Die Vorgehensweise kennen wir bereits aus Kapitel 5.1.6 Kovariante Ableitung und Paralleltransport (dort hatten wir die kovariante Ableitung für Co-Tangentialvektoren und höhere Tensoren formuliert). Die Details schauen wir uns weiter unten noch an; lediglich für die skalaren Funktionen wollen wir die Betrachtung vorziehen:

  • Lie-Ableitung von skalaren Funktionen:

      [Lu φ](p)   :=   d [Φt* φ](p) / dt |t = 0   =   d φ( Φt(p) ) / dt |t = 0   =   u(p) φ


Wir wollen die Definition der Lie-Ableitung für Vektorfelder noch etwas umschreiben. Schauen wir uns dazu zunächst den Push-Forward eines Vektorfeldes v an. Dabei soll wie immer v(p) die Richtungsableitung in Richtung einer Kurve γ(s) in s = 0 sein mit p = γ(0) . In Koordinaten können wir den Push-Forward schreiben als

  [Φt* v](q)   =:   ∑μ   [Φt* v]μ(q)   d/dxμ|q

mit q = Φt(p) . Zum Vektorfeld   Φt* v   gehört dabei die weitergewanderte Kurve   Φt(γ(s))  . Wie wir aus Kapitel 5.1.4 Tangentialräume und Vektorfelder wissen, sind die Komponenten eines Tangentialvektors gleich den Ableitungen der Kurvenkoordinaten. Bezeichnen wir die Koordinatenfunktion mit f, so gilt also:

  [Φt* v]μ(q)   =   d[f μ ο Φt](γ(s)) / ds |s = 0   =   ....

Nun wissen wir von oben, dass   Φtμ(p)   =   [f μ ο Φt](p)   =   f μ(p)   +   t uμ(p)   +   ...   gilt. Hier können wir   p = γ(s)   wählen und dies oben einsetzen:

  ...   =   d { f μ(γ(s))   +   t uμ(γ(s))   +   ... } / ds |s = 0   =   ....

Zum ersten Term: Es ist   d f μ(γ(s)) / ds |s = 0   =   vμ(p)   , denn v(p) ist Tangentialvektor zu γ(s) in p = γ(0) .
Zum zweiten Term: Da uμ eine skalare Funktion auf der Mannigfaltigkeit ist (das Vektorfeld u war ja überall dort definiert, wo der Fluss wirkt), und da v(p) eine Richtungsableitung entlang der Kurve γ(s) in p = γ(0) ist, haben wir   d uμ(γ(s)) / ds |s = 0   =   v(p) uμ   . Wir setzen dies ein und erhalten:

  ...   =   vμ(p)   +   t v(p) uμ   +   ...

Unser Zwischenergebnis für kleine t lautet also:

  [Φt* v]μ(q)   =   vμ(p)   +   t v(p) uμ   +   ...

Analog können wir auch beim Pull-Back Φt* vorgehen. Oben haben wir gesehen, dass der Pull-Back Φt* zum Fluss Φt gleich dem Push-Forward Φ− t * in umgekehrter Flussrichtung (Abbildung Φ− t ) ist. Also ist   [Φt* v](p)  , =   [Φ− t *](p)   und wir können unser Ergebnis von oben übertragen:

  [Φt* v]μ(p)   =   vμ(q)   −   t v(q) uμ   +   ...

Nun kommt der zweite Schritt: Die beiden Terme rechts müssen in eine Taylorreihe im Parameter t um den Punkt p entwickelt werden, wobei wir insgesamt nur Terme bis zur ersten Ordnung in t behalten.
Zum ersten Term:
  vμ(q)   =   vμt(p))   =   vμ0(p))   +   t dvμt(p))/dt|t = 0   +   ....   =   vμ(p)   +   t u(p) vμ   +   ....
Zum zweiten Term:
  t v(q) uμ   =   t v(Φt(p)) uμ   =   t v(p) uμ   +   Terme in höherer Ordnung von t
Wir setzen dies ein und erhalten:

  [Φt* v]μ(p)   =  
  =   vμ(q)   −   t v(q) uμ   +   ...
  =   vμ(p)   +   t u(p) vμ   −   t v(p) uμ   +   ...
  =   vμ(p)   +   t [u, v]μ(p)   +   ...

mit der Lie-Klammer [u, v](p) aus Kapitel 5.1.7 Torsion. Fassen wir die Komponenten wieder zu Vektoren zusammen, so haben wir also für kleine t:

  [Φt* v](p)   =   v(p)   +   t [u, v](p)   +   Terme in höherer Ordnung von t

Dies reicht aus, um die Lie-Ableitung auszurechnen, die ja die Ableitung in t bei t = 0 von diesem Ausdruck ist:

  • Lie-Ableitung und Lie-Klammer:

      [Lu v](p)   =   d [Φt* v](p) / dt |t = 0   =   [u, v](p)

    mit der Lie-Klammer
      [u, v](p)   =   ∑μ   ( u(p) vμ   −   v(p) uμ )   d/dxμ|p  , d.h.
      [u, v](p) φ   =   u(p) (v φ)   −   v(p) (u φ)  
    Dabei ist φ eine skalare Funktion und   (v φ)(p)   :=   v(p) φ ist ebenfalls eine skalare Funktion (analog auch (u φ) ).

Wichtig ist dabei, dass neben Ableitungen von v auch Ableitungen von u hier vorkommen! Das ist ein zentraler Unterschied zur kovarianten Ableitung, bei der das nicht so ist!

Es wird also in der Lie-Ableitung nicht nur das Änderungsverhalten von v erfasst, sondern es spielt auch das Änderungsverhalten von u eine Rolle. Warum ist das so?

Bei der Lie-Ableitung wird der Fluss dazu verwendet, um Tangentialvektoren an verschiedenen Punkten miteinander vergleichen zu können. Das Vektorfeld, das durch den Fluss aus einem Vektor entsteht, dient als Referenz-Vektorfeld, um die Änderung des Vektorfeldes v anzugeben. So ist die Lie-Ableitung gleich Null, wenn die Werte von v an verschiedenen Punkten durch den Fluss ineinander übergehen, d.h. wenn v ein durch den Fluss erzeugtes Vektorfeld ist. Analog dient bei der kovarianten Ableitung das entlang einer Kurve paralleltransportierte Vektorfeld als Referenzvektorfeld.

Schauen wir uns an, was beim Weiterfließen (beim Push-Forward) eines Vektors geschieht (siehe dazu auch das Bild weiter oben, das den Push-Forward eines Tangentialvektors darstellt). Dazu stellen wir uns den Vektor (bzw. die zugehörige Kurve) wie mit Tinte in ein zähfließendes Gel hineingeschrieben vor. Betrachten wir, wie dieser Vektor ein kleines Stück weiterfließt: Sein Fußpunkt (d.h. der Punkt γ(0) ) und seine Spitze (d.h. ein Punkt γ(ε) mit kleinem ε ) bewegen sich mit dem Fluss mit, wobei sich beide Punkte etwas unterschiedlich bewegen können, denn der Fluss kann beim Fußpunkt etwas anders sein als bei der Spitze. Nun wird der Fluss im Fußpunkt γ(0) durch den generierenden Vektor u(γ(0)) an dieser Stelle bestimmt. Analog bestimmt u(γ(ε)) den Fluss der Spitze. Um also das Mitfließen des Vektors anzugeben, muss man u an zwei eng benachbarten Punkten kennen, was in der infinitesimalen Version bedeutet, dass man die Veränderung von u in p = γ(0) kennen muss. Damit ist anschaulich klar, warum die Ableitung von u (also die lokale Veränderung im Fluss) für die Lie-Ableitung von Vektorfeldern wichtig ist. Und damit ist auch klar, warum wir   [Lu v](p)   statt   Lu(p) v   schreiben: es geht eben nicht nur der Wert von u(p) ein, sondern es geht das Vektorfeld u in einer Umgebung von p ein (anders als bei der kovarianten Ableitung, bei der wir   Du(p) v   schreiben durften).

Man sieht übrigens auch in der Rechnung oben, an welcher Stelle die Ableitung von u ins Spiel kommt:
  [Φt* v]μ(p)   =   vμ(q)   −   t v(q) uμ   +   ...  
Beim Mitfließen von v (also beim Push-Forward bzw. hier beim Pull-Back   Φt* v   ) ist die Veränderung von u in v(p)-Richtung wichtig, also der Unterschied des Flusses am Fußpunkt p von v(p) und an der Spitze (die gleichsam infinitesimal neben p in v(p)-Richtung liegt).

Aus   [Lu v](p)   =   [u, v](p)   =   − [v, u](p)   =   − [Lv u](p)   folgt eine gewisse Gleichberechtigung von u und v. Wir können wahlweise den durch u oder den durch v erzeugten Fluss betrachten und die Veränderung des jeweis anderen Vektors im Vergleich zum mitfließenden Vektor mit der Lie-Ableitung bestimmen. Falls die Lie-Ableitung in einem Gebiet gleich Null ist (d.h.   [u, v](p) = 0   in diesem Gebiet), so vertauschen die beiden Flüsse dort miteinander, wie man zeigen kann (was wir hier überspringen). Es ist dann egal, mit welchem der beiden Flüsse man sich zuerst weitertragen lässt -- der Zielpunkt ist derselbe.


Vergleich zwischen Lie-Ableitung und kovarianter Ableitung:

Wir katten in Kapitel 5.1.6 Kovariante Ableitung und Paralleltransport bereits die kovariante Ableitung eines Vektorfeldes kennengelernt. Die beiden Definitionen für Lie-Ableitung und kovariante Ableitung sehen sehr ähnlich aus:

Der Rückwärts-Paralleltransport entspricht also dem Pull-Back.

Was ist der Unterschied zwischen kovarianter und Lie-Ableitung? Schauen wir uns dazu einfach noch einmal die Formeln in Koordinatendarstellung an:

Wir sehen also: An die Stelle von

  ∑μν   vμ(p)   Γ ρνμ   uν(p)   =   ∑μ   vμ(p)   [ Du(p) d/dxμ|p ]ρ

tritt bei der Lie-Ableitung der Term

    −   v(p) uρ   =   − ∑μ   vμ(p)   duρ/dxμ

Der Unterschied ist also:

  • An der Stelle, wo in der kovarianten Ableitung die Veränderung der Basisvektoren in u(p)-Richtung

      [ Du(p) d/dxμ|p ]ρ   =   ∑ν   Γ ρνμ   uν(p)

    eingeht, steht in der Lie-Ableitung die Veränderung des u-Vektorfeldes

        − duρ/dxμ  .

Dies macht uns den wesentlichen Unterschied zwischen den beiden Ableitungen klar: Bei der kovarianten Ableitung muss man die Veränderung der Basisvektoren vorgeben (bzw. anhand einer Einbettung oder einer Metrik festlegen), um benachbarte Tangentialvektoren miteinander vergleichen zu können. Bei der Lie-Ableitung gibt man dagegen die Veränderung des generierenden Vektorfeldes u vor (indem man gleich das generierende Vektorfeld u vorgibt), um benachbarte Tangentialvektoren miteinander vergleichen zu können. Bei der kovarianten Ableitung erhält man das Referenz-Vektorfeld für die Ableitung durch Parallelverschiebung, bei der Lie-Ableitung dagegen durch den Fluss (bzw. den Push-Forward oder Pull-Back dazu). Die Ableitung des Referenz-Vektorfeldes selbst ist dabei gleich Null (man misst ja die Veränderung gegenüber dem Referenz-Vektorfeld). Ohne ein solches Referenz-Vektorfeld kommt man nicht aus, denn man kann ansonsten direkt benachbarte Tangentialvektoren nicht miteinander vergleichen.

Schauen wir uns noch einmal die Eigenschaften von kovarianter Ableitung und Lie-Ableitung an:

  • Du(p) v   ist algebraisch linear in u(p), d.h. für zwei skalare Funktionen φ und χ sowie ein weiteres Tangentialvektorfeld w gilt:

      D(φ(p) u(p)   +   χ(p) w(p)) v   =   φ(p) Du(p) v   +   χ(p) Dw(p) v

    Genau dies ist bei der Lie-Ableitung nicht der Fall! Es gilt zwar

      Lu + w v   =   Lu v   +   Lw v

    aber es gilt nicht   Lφ u v   =   φ Lu v  . Statt dessen gilt

      [Lφ u v](p)   =   ∑ρ   ( φ(p) u(p) vρ   −   v(p) (φ uρ) )   d/dx ρ|p   =  
      =   ∑ρ   ( φ(p) u(p) vρ   −   (v(p) φ) uρ(p)   −   φ(p) v(p) uρ )   d/dx ρ|p   =  
      =   φ(p) [Lu v](p)   −   (v(p) φ) u(p)

    oder in Kurzform

      Lφ u v   =   φ Lu v   −   (v φ) u

    Wie man sieht, taucht im Vergleich zur kovarianten Ableitung bei der Lie-Ableitung der Zusatzterm   − (v φ) u   auf. Wir werden gleich sehen, dass dies einfach die Produktregel darstellt.

  • Du(p) v   und   Lu v   sind additiv in v, d.h.

      Du(p) (v + w)   =   Du(p) v   +   Du(p) w
      Lu (v + w)       =   Lu v   +   Lu w

  • Du(p) v   und   Lu v   genügen der Produktregel, d.h.

      Du(p) (φ v)   =   φ(p) Du(p) v   +   (Du(p) φ) v(p)
      [Lu (φ v)](p)   =   φ(p) [Lu v](p)   +   [Lu φ](p) v(p)

    wobei   Du(p) φ   sowie   [Lu φ](p)   die normalen Richtungsableitung von φ in u(p) -Richtung sind, also   Du(p) φ   =   [Lu φ](p)   =   u(p) φ

    Die Produktregel für die Lie-Ableitung hatten wir etwas weiter oben im Grunde bereits hingeschrieben. Dort hatten wir
      Lφ u v   =   φ Lu v   −   (v φ) u  .
    Setzen wir   Lφ u v   =   [φ u , v]   =   − [v , φ u]   =   − Lv (φ u)  
    dort ein, so haben wir   − Lv (φ u)   =   φ Lu v   −   (v φ) u   =   − φ Lv u   −   (v φ) u  .
    Umbenennung von u in v und umgekehrt ergibt
      Lu (φ v)   =   φ Lu v   +   (u φ) v  .
    Das ist genau die obige Produktregel!

Bei der kovarianten Ableitung waren wir von der Definition der Ableitung ausgegangen und hatten darüber den Paralleltransport definiert. Bei der Lie-Ableitung sind wir dagegen umgekehrt vorgegangen: Wir sind vom Fluss ausgegangen und haben darüber die Lie-Ableitung definiert. Manche Bücher machen das auch für die Lie-Ableitung umgekehrt: über   [Lu v](p)   :=   [u, v](p)   wird die Lie-Ableitung definiert, und erst anschließend konstruiert man den Fluss. Und auch bei der kovarianten Ableitung kann man umgekehrt vorgehen (siehe z.B. Matt Visser: Math 464: Notes on differential geometry, Victoria University of Wellington, New Zealand, 2004, http://www.mcs.vuw.ac.nz/courses/MATH464/2004T1/Lecture-Notes/notes.ps ): Man definiert zunächst den Paralleltransport und darüber danach die kovariante Ableitung. Es wäre sicher interessant, beide Vorgehensweisen für kovariante Ableitung und Lie-Ableitung im Detail gegenüberzustellen und so beispielsweise die Eigenschaften von Paralleltransport und Fluss zu vergleichen. Da dies jedoch unseren Rahmen sprengen würde, wollen wir hier nicht näher darauf eingehen.


Lie-Ableitung für Co-Tangentialvektoren und andere Tensoren:

Die Definition der Lie-Ableitung für Tangentialvektoren

  [Lu v](p)   :=   d [Φt* v](p) / dt |t = 0

kann man leicht auf andere Tensoren übertragen, da man den Pull-Back leicht für solche Tensoren definieren kann. Wir hatten dies oben bereits für skalare Funktionen und Co-Tangentialvektoren getan, siehe z.B. die Formel   [Φt* ω](p) v(p)   :=   ω(q) [Φt* v](q)   , mit der wir den Pull-Back für Co-Tangentialvektoren oben definiert hatten. Die Vorgehensweise ist vollkommen analog zur Vorgehensweise aus Kapitel 5.1.6 Kovariante Ableitung und Paralleltransport, bei der wir den Paralleltransport auf andere Tensoren übertragen hatten.

Gleichwertig dazu kann man die kovariante Ableitung bzw. die Lie-Ableitung auch mit Hilfe der Produktregel für andere Tensoren definieren. So ist die Definition der Lie-Ableitung für Co-Tangentialvektoren über   [Lu ω](p)   :=   d [Φt* ω](p) / dt |t = 0   gleichwertig zur Definition über

  [Lu (ω v)](p)   =:   [Lu ω](p) v(p)   +   ω(p) [Lu v](p)

(dabei ist   (ω v)   als skalare Funktion zu sehen, d.h.   [Lu (ω v)](p)   =   u(p) (ω v)  ). Der Beweis für die Gleichwertigkeit der beiden Definitionen läuft vollkommen analog zum Beweis bei der kovarianten Ableitung. Über die obige Formel können wir die Lie-Ableitung von ω leicht ausrechnen (wobei wir  , Lu v = [u, v]   und   Lu (ω v)   =   u (ω v)   einsetzen). Ergebnis:

  • Lie-Ableitung für Co-Tangentialvektoren:

      [Lu ω](p) v(p)   =     u(p) (ω v)   −   ω(p) [u, v](p)

Auf diese Weise kann man sich auch zu weiteren Tensoren weiterhangeln. Betrachten wir beispielsweise den metrischen Tensor g, der zwei Tangentialvektoren v(p) und w(p) auf die reelle Zahl   g(p)(v(p), w(p))   abbildet (siehe Kapitel 5.1.9 Abstände und Winkel: die Metrik, wobei wir hier die p-Abhängigkeit des Tensors (gegeben durch die p-Abhängigkeit seiner Komponenten) explizit mitschreiben -- daher das (p) hinter dem g ! Die Produktregel ergibt hier (wieder analog zur Vorgehensweise bei der kovarianten Ableitung):

  u(p) g(v,w)   =   [Lu g(v,w)](p)   =:  
  =:   [Lu g](p)(v(p), w(p))   +   g(p)( [Lu v](p) , w(p))   +   g(p)(v(p) , [Lu w](p) )

Dabei ist wieder g(v,w) als skalare Funktion zu sehen. Schreibt man diese Gleichung in Komponenten aus, so erhält man

  (Lu g)νρ   =   u(p) gνρ   +   ∑μ   [ gμρ duμ/dxν   +   gνμ duμ/dxρ ]

(die Rechnung verläuft vollkommen analog zur Rechnung für die Verträglichkeitsbedingung zwischen Metrik und affinem Zusammenhang in Kapitel 5.1.9).


Noch eine kleine Zusatzanmerkung: Oben hatten wir explizit den Zusammenhang   [Lu v](p)   =   [u, v](p)   abgeleitet. Wir können diesen Zusammenhang auch auf andere Weise erhalten: Durch Vorwärts-Hangeln mit Hilfe einer (neuen) Produktregel. Als Ausgangspunkt benötigen wir lediglich, dass für eine skalare Funktion φ die Lie-Ableitung gegeben ist durch   [Lu φ](p)   =   u(p) φ   .
Nun ist nicht nur φ(p) eine skalare Funktion, sonder auch   v(p) φ   ist eine skalare Funktion (sie liefert die Richtungsableitung von φ im Punkt p in v(p)-Richtung -- dies ist eine reelle Zahl für jeden Punkt p). Wir schreiben   (v φ)(p)   :=   v(p) φ   für diese Funktion. Wenden wir die Lie-Ableitung darauf an und verwenden eine (neue) Produktregel, so folgt
  u(p) (v φ)   =   [Lu (v φ)](p)   =   [Lu v](p) φ   +   v(p) [Lu φ]   =   [Lu v](p) φ   +   v(p) (u φ)
Dies können wir nach   [Lu v](p) φ   freistellen:

  [Lu v](p) φ   =   u(p) (v φ)   −   v(p) (u φ)   =   [u, v](p) φ

Eine Bemerkung dazu: die Rechnung funktioniert, wenn man immer darauf achtet, dass jeder Term eine skalare Funktion ist. Wir hatten ja   (v φ)   als skalare Funktion verstanden. Weiter oben hatten wir eine andere Produktregel kennengelernt, und dabei   (φ v)   als Tangentialvektor verstanden, d.h.   (φ v)(p)   :=   φ(p) v(p)  . Dies ist ein wirkliches Produkt, während   (v φ)(p)   :=   v(p) φ   eigentlich kein Produkt ist, sondern die Anwendung der Abbildung v(p) auf φ. Die zu   (φ v)(p)   gehörende (alte) Produktregel war
  [Lu (φ v)](p)   =   φ(p) [Lu v](p)   +   [Lu φ](p) v(p)
Hier ist jeder Term ein Tangentialvektor! Diese Produktregel lässt sich eins-zu-eins auch für die kovariante Ableitung formulieren (siehe oben). Die neue, von uns gerade verwendete Produktregel
  [Lu (v φ)](p)   =   [Lu v](p) φ   +   v(p) [Lu φ]
jedoch hat kein Analogon bei der kovarianten Ableitung, sondern im Grunde ist die Beziehung   [Lu v](p)   =   [u, v](p)   erst die Rechtfertigung für diese Produktregel. Da diese Produktregel für die kovariante Ableitung nicht gilt, ist auch   Du(p) v   ungleich   [u, v](p)  . Man sieht also, wie vorsichtig man mit solchen intuitiv scheinbar klaren Rechnungen sein muss!


Killing-Vektorfelder und Symmetrien:

Besonders interessant ist der Fall, bei dem die Lie-Ableitung des metrischen Tensors auf der Mannigfaltigkeit in jedem Punkt p verschwindet:   [Lu g](p)   =   0  , d.h.   (Lu g)νρ(p)   =   0  . Ein Fluss-generierendes Vektorfeld u, dass diese Bedingung erfüllt, heißt Killing-Vektorfeld (benannt nach Wilhelm Killing).

Setzen wir   [Lu g](p)   =   0   oben ein, so erhalten wir

  u(p) g(v,w)   =   g(p)( [Lu v](p) , w(p))   +   g(p)(v(p) , [Lu w](p) )

Diese Gleichung ist vollkommen analog zur Verträglichkeitsbedingung zwischen Metrik und affinem Zusammenhang (wenn man die Lie-Ableitung durch die kovariante Ableitung ersetzt, siehe Kapitel 5.1.9 Abstände und Winkel: die Metrik ). Und analog zu dort bedeutet die Gleichung, dass die Metrik zweier Tangentialvektoren beim Push-Forward oder Pull-Back (also beim Mitfließen durch den Fluss, der von u erzeugt wird) sich nicht ändert. Grund: Für durch Push-Forward erzeugte Vektorfelder v und w ist   [Lu v](p)   =   [Lu w](p)   =   0  , d.h.   u(p) g(v,w)   =   0   für alle p -- die Richtungsableitung der Metrik in Flussrichtung ist für mitgeflossene Vektorfelder also überall gleich Null, d.h. die Metrik ändert sich beim Mitfließen nicht. Der durch u erzeugte Fluss (bzw. sein Push-Forward oder Pull-Back) ist eine Isometrie auf der Mannigfaltigkeit! Darin drücken sich gewisse Symmetrien der Mannigfaltigkeit aus. Die Aufgabe lautet daher häufig, alle Killing-Vektorfelder und damit die zugehörigen Symmetrien einer Mannigfaltigkeit zu finden. Dazu muss man die Differentialgleichung   [Lu g](p)   =   0   bei gegebener Metrik g lösen, also in Komponenten die Gleichung

  0   =   u(p) gνρ   +   ∑μ   [ gμρ duμ/dxν   +   gνμ duμ/dxρ ]

Bei einem Levi-Civita-Zusammenhang (d.h. die Torsion ist Null und die kovariante Ableitung erfüllt die Verträglichkeitsbedingung   Du g = 0   mit der Metrik, siehe Kapitel 5.1.9 ) kann man diese Gleichung noch etwas umschreiben. Die konkrete Rechnung ist weiter nicht schwierig -- wir wollen sie hier weglassen und einfach nur das Ergebnis angeben (auch Killings Gleichung genannt):

  (Dμ u)ρ   +   (Dρ u)μ   =   0

(Indexstellung beachten!). Dabei ist   Dμ u = D(d/dxμ ) u  , und   (Dμ u)ρ   ist die ρ-te Komponente des Vektors   Dμ u   , wobei der Index ρ noch mit Hilfe der Metrik nach unten gezogen wird:   (Dμ u)ρ   =   ∑σ   gρσ (Dμ u)σ .

Ein Killing-Vektorfeld gehört zu einer Symmetrie der Mannigfaltigkeit (genauer: zu einer Isometrie zwischen den Tangential-Vektorräumen). In der Physik gehört zu einer Symmetrie zumeist auch eine Erhaltungsgröße. Dazu muss man allerdings wissen, wie die Zeitentwicklung des betrachteten physikalischen Systems mathematisch beschrieben wird. Wie wir später noch sehen werden, wird in der allgemeinen Relativitätstheorie die Flugbahn eines Teilchens im Gravitationsfeld durch eine Geodäte beschrieben (wobei wir es mit einem Levi-Civita-Zusammenhang zu tun haben; also: Torsion null, Verträglichkeit mit der Metrik und Geodäte gleich geodätische Linie).

Gehen wir also von einer Geodäten γ aus. Den Tangentialvektor der Geodäten im Punkt γ(t) nennen wir v(γ(t)) . Aus Kapitel 5.1.6 Kovariante Ableitung und Paralleltransport wissen wir, dass für eine Geodäte γ die Gleichung   Dv(γ(t)) v   =   0   gilt (eine entsprechende Kurvenparametrisierung ohne Geradeaus-Beschleunigung vorausgesetzt). Nehmen wir nun ein Killing-Vektorfeld u dazu und betrachten die aus dem Killing-Vektorfeld u und dem Geodäten-Tangentialvektorfeld v gebildete skalare Funktion

  ψ(γ(t))   =   g(γ(t)) ( u(γ(t)) , v(γ(t)) )

also die Metrik von u und v auf der Geodäten. Wie verändert sich diese Größe entlang der Geodäten? Rechnen wir es aus:

  dψ(γ(t')) / dt'|t' = t   =   v(γ(t)) ψ   =   v(γ(t)) g(u,v)   =   ...

wir verwenden die Verträglichkeitsbedingung zwischen Metrik und affinem Zusammenhang:

...   =   g(γ(t)) ( Dv(γ(t)) u , v(γ(t)) )   +   g(γ(t)) ( u(γ(t)) , Dv(γ(t)) v )   =   ...

Der zweite Term ist wegen der Geodätenbedingung gleich Null. Den ersten Term schreiben wir in Komponenten aus:

...   =   ∑μν   vν   (Dν u)μ   vμ   =   ...

Diesen Term können wir geeignet umschreiben und Killings Gleichung anwenden:

...   =   ∑μν   vν   [ (Dν u)μ   +   (Dμ u)ν ] / 2   vμ   =   0

d.h. die skalare Größe   ψ(γ(t))   =   g(γ(t)) ( u(γ(t)) , v(γ(t)) )   (also die Metrik zwischen Killing-Fluss-Richtungsvektor und Geodäten-Tangentialvektor) ist entlang der Geodäten γ eine Erhaltungsgröße, ändert sich also entlang der Geodäten nicht.

Fassen wir zusammen:

  • Killing-Vektorfelder:

    Ein Killing-Vektorfeld u ist ein (Fluss-generierendes) Vektorfeld, bei dem die Lie-Ableitung des metrischen Tensors auf der Mannigfaltigkeit in jedem Punkt p verschwindet:

      [Lu g](p)   =   0  

    Diese Gleichung ist äquivalent zu

      u(p) g(v,w)   =   g(p)( [Lu v](p) , w(p))   +   g(p)(v(p) , [Lu w](p) )

    Dies bedeutet, dass die Metrik zweier Tangentialvektoren beim Push-Forward oder Pull-Back (also beim Mitfließen durch den Fluss, der von u erzeugt wird) sich nicht ändert (d.h. anschaulich ändert sich bei einer positiv definiten Metrik z.B. der Winkel, unter dem sich zwei Kurven schneiden, durch das Mitfließen der Kurven nicht).

    Bei einem Levi-Civita-Zusammenhang sind die Killing-Vektorfelder u Lösungen der Killing-Gleichung

      (Dμ u)ρ   +   (Dρ u)μ   =   0

    und für eine Geodäte γ mit Tangentialvektoren   v(γ(t))   ist die skalare Größe   ψ(γ(t))   =   g(γ(t)) ( u(γ(t)) , v(γ(t)) )   (also die Metrik zwischen Killing-Fluss-Richtungsvektor und Geodäten-Tangentialvektor) entlang der Geodäten γ eine Erhaltungsgröße:

      dψ(γ(t')) / dt'|t' = t   =   v(γ(t)) ψ   =   v(γ(t)) g(u,v)   =   0

    Anschaulich (bei einer positiv definiten Metrik) schneiden sich also Killing-Flusslinien und Geodäte überall mit demselben Winkel.


Anwendungsbeispiel Hamiltonsche (klassische) Mechanik:

Wiederholen wir kurz eine kleine Rechnung von oben: Für den Fluss Φt mit generierendem Vektorfeld u gilt   u(p) φ   =   dφ( Φt(p) ) / dt |t = 0  . Setzen wir hier für die skalare Funktion φ die Koordinatenfunktion f μ ein, so erhält man   u(p) f μ   =   df μ( Φt(p) ) / dt |t = 0   =   df μ( ρp(t) ) / dt |t = 0   =   uμ(p)   (denn u(p) ist Tangentialvektor zur Kurve ρp(t) in t = 0 ). Es ist also

  df μ( Φt(p) ) / dt |t = 0   =   uμ(p)  

oder in Physikerschreibweise   dxμ/dt   =   uμ  . Dabei sind x μ die Koordinaten der Flusslinie am betrachteten Punkt.

In der Hamiltonschen Formulierung der klassischen Mechanik hatten wir in Kapitel 5.1.9 Abstände und Winkel: die Metrik die Gleichung

  dxμ/dt   =   vHμ

hergeleitet, die die Bewegung eines klassischen mechanischen Systems als Kurve im 2n-dimensionalen Phasenraum beschreibt, und die genau die Form der Gleichung   dxμ/dt   =   uμ   hat. Zur Erinnerung: Der Koordinatenvektor x eines Punktes im Phasenraum fasst Ortskoordinaten qi und Impulskoordinaten pi wie folgt zusammen:

  x   =   (xμ)   =   (x1, ... , x2n)   =   (q1, ... , qn, p1, ... , pn)   =:   (q, p)

Der griechische Index μ läuft bis 2n und wird wie bisher bei Koordinaten oben geschrieben. Bei den Impulsen schreiben wir den lateinischen Index i (der von 1 bis n läuft) jedoch unten.

Wir können uns also vorstellen, dass die Bewegung eines klassischen mechanischen Systems im Phasenraum durch einen Fluss mit generierendem Vektorfeld   vH   hervorgerufen wird. Die Bewegungskurve ist dabei eine Flusslinie, und umgekehrt liefert jede Flusslinie eine mögliche Bewegungskurve (je nach Anfangsbedingungen). Das generierende Vektorfeld vH hatten wir dabei als Hamiltonsches Vektorfeld bezeichnet. Man erhält das Hamiltonsche Vektorfeld aus der skalaren Hamiltonfunktion H mit Hilfe der symplektischen 2-Form   ω   :=   ∑i = 1n   dqi Λ dpi  , indem man   dH w   =:   ω( vH, w )   für beliebige Tangentialvektoren w fordert. In Koordinaten ergibt das

vHi       =     dH/dpi
vHi + n   =   − dH/dqi

Man kann nun mit Hilfe einer kleinen Rechnung (die wir hier überspringen) zeigen, dass   [LvH ω](p)   =   0   gilt. Dabei spielt ω die analoge Rolle zur Metrik g von oben, nur dass ω antisymmetrisch ist ( g war ja symmetrisch). Analog zur Metrik folgt damit, dass sich die ω-Form   ω(a, b)   zweier Tangentialvektoren a und b beim Push-Forward oder Pull-Back (also beim Mitfließen durch den Hamiltonschen Fluss, der von vH erzeugt wird) sich nicht ändert.

Weiterhin kann man zeigen, dass auch für die Volumenform   V   =   dx1 Λ ... Λ dx2n   (siehe nächstes Kapitel) gilt:   [LvH V](p)   =   0  . Man kann daraus ableiten (wie, darauf gehen wir hier nicht ein), dass sich ein Phasenraumvolumen beim Mitfließen mit der Hamiltonschen Strömung nicht ändert. Dies ist der bekannte Satz von Liouville.


Literatur zu dem Thema:


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last modified on 29 December 2004