Kapitel 5
Die allgemeine Relativitätstheorie

1   Gekrümmte Räume (über die Grundlagen der Differentialgeometrie)

12   Hodge-Sternoperator, Volumenform, Gradient, Divergenz, Rotation

Wir haben in Kapitel 5.1.11: Höhere Differentialformen und der Integralsatz von Stokes sehr ausführlich den Begriff der Differentialformen kennengelernt. Zunächst eine kurze Wiederholung:

Differentialformen sind mehrdimensionale Verallgemeinerungen der Co-Tangentialvektoren, d.h. sie sind multilineare Abbildungen, die aus mehreren (sagen wir: p Stück) Tangentialvektoren eine reelle Zahl machen -- man spricht dann von p-Formen. Außerdem sind Differentialformen antisymmetrisch beim Vertauschen zweier Tangentialvektoren, ganz analog zum Verhalten von Determinanten bei Spaltenvertauschungen. Daher eignen sie sich sehr gut als Integranden von p-dimensionalen Flächenintegralen. Die Antisymmetrie sorgt (zusammen mit der Linearität) dafür, dass die Integrale nicht von der Flächenparametrisierung abhängen (bis auf das Vorzeichen, was zum Begriff der Orientierung führt).

Bei p Tangentialvektoren und einer (p − 1) - Form ω kann man danach fragen, wie sich der Wert der (p − 1) - Form -- angewendet auf (p − 1) Tangentialvektoren -- in Richtung des p-ten Tangentialvektors ändert. Wenn man diese Änderungsraten antisymmetrisch kombiniert, so gelangt man zu einer neuen p-Form, die man als äußere Ableitung dω der (p − 1) - Form ω bezeichnet. Für Integrale führt dies schließlich zum Integralsatz von Stokes, der besagt, dass die Beziehung   ∫G dω   =   ∫δG ω   gilt (dabei ist δG der Rand von G). Man kann den Integralsatz von Stokes als mehrdimensionale Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ansehen.

Weiter hatten wir eine Veranschaulichung von Differentialformen kennengelernt. Man kann eine p-Form ω in einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit zumindest lokal durch eine Raumdichte von (n − p) -dimensionalen Flächen darstellen, die wir auch als Höhenlinien bzw. als Blätter bezeichnet hatten. Wenn wir nun p Tangentialvektoren betrachten, die ein kleines Flächenstück aufspannen, so ist der Wert der Differentialform, ausgewertet auf diesen p Tangentialvektoren, gleich der Dichte der Blätter, die das kleine Flächenstück durchstoßen (mit zusätzlichen Vorzeichen). Die äußere Ableitung dω ist gleich der Dichte der (n − p − 1) -dimensionalen Quellflächen für dort neu entstehende (n − p) -dimensionale Blätter von ω. Damit kann man sich auch den Integralsatz von Stokes veranschaulichen: Jede in G liegende (n − p − 1) -dimensionale Quellfläche, die ein Blatt von dω darstellt und die demnach zu   ∫G dω   beiträgt, führt zu einem neuen (n − p) -dimensionalen Blatt, das einen nichtverschwindenden Beitrag zu   ∫δG ω   ergibt, wenn das neu entstandene Blatt den Rand von G schneidet und damit G verlässt.
Allerdings muss man mit der Veranschaulichung von Differentialformen durch Flächen oder Blätter vorsichtig sein! Die Veranschaulichung ist oft nur lokal gültig, also in einer infinitesimal kleinen Umgebung eines Punktes. Allgemein können neue Blätter hinzukommen, und die lokalen Flächenstücke müssen sich nicht unbedingt zu globalen Flächen vereinigen lassen Eine ausführliche Begründung für die Veranschaulichung von Differentialformen mit Hilfe von foliations (Zerlegung des Raums in Schichten oder Blätter) und contact structures (Kontaktstrukturen) und damit verbundene mögliche Fehlinterpretationen findet man in den Kapiteln 7.2 und 7.3 von David Bachman: A Geometric Approach to Differential Forms, http://pzacad.pitzer.edu/~dbachman/forms.pdf .

Soweit unsere Kurz-Wiederholung. Bei einer Metrik gab es noch weitere interessante Aspekte: so konnte man Flächen- und Volumenmaße mit Hilfe der Gram'schen Determinante entwickeln. Eine weitere interessante Möglichkeit, die eine Metrik bietet, wollen wir uns nun anschauen: die Möglichkeit, p-Formen in (n − p) -Formen umzuwandeln (in Basis-unabhängiger Form).

Starten wir mit einer p-Form ω in einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit mit Metrik. Diese p-Form können wir durch eine Raumdichte von (n − p) -dimensionalen Flächen (Blättern) darstellen. Wir können nun senkrecht zu jeder dieser Flächen eine p-dimensionale Flächen legen, so dass insgesamt die Dichte dieser p-dimensionalen Flächen in jedem Punkt gleich der Dichte der (n − p) -dimensionalen Flächen ist (Vorzeichenfragen wollen wir dabei vernachlässigen). Auf diese Weise konstruieren wir eine zugehörige (duale) (n − p)-Form, die wir   *ω   nennen. Dabei bezeichnen wir   *   als den Hodge-Stern-Operator.

Schauen wir uns als Beispiel den dreidimensionalen euklidischen Raum R3 mit Punkten   x   =   (x, y, z)   an. Die Differentialform   ω = dx   können wir als äußere Ableitung der Funktion   Φ(x)   =   x   schreiben, d.h. die Höhenflächen von Φ sind die Blätter von   dx  . Also wird   dx   durch gleichmäßig verteilte zweidimensionale Flächen senkrecht zur x-Achse dargestellt. Senkrecht dazu können wir gleichmäßig verteilte Parallelen zur x-Achse legen, die die duale Differentialform   *dx   darstellen sollen. Solche Blätter passen zur Differentialform   dy Λ dz  . Wir definieren also   *dx   := dy Λ dz   und analog   *dy   := dz Λ dx   und   *dz   := dx Λ dy  , so dass der Hodge-Sternoperator damit auf der euklidischen Basis definiert ist. Da wir zusätzlich verlangen, dass er linear sein soll, ist er damit zugleich generell wohldefiniert.



Die 1-Form   dx   wird im R3 durch gleichmäßig verteilte zweidimensionale Flächen senkrecht zur x-Achse dargestellt.
Die 2-Form   dx Λ dy   wird durch Linien in z-Richtung dargestellt. Man kann sich die Linien als Schnittlinien der dx -und dy-Flächen vorstellen.
Die 3-Form   dx Λ dy Λ dz   wird analog durch gleichmäßig verteilte Punkte dargestellt, die sich als Schnittpunkte der dx-, dy- und dz-Flächen ergeben.
Siehe auch im Internet Warnick, Arnold, Selfridge: Differential Forms in Electromagnetic Field Theory.


Der Hodge-Stern-Operator erzeugt zu den 2-dimensionalen Flächen einer 1-Form entsprechende eindimensionale Linien senkrecht zu den Flächen, die dann die zur 1-Form duale 2-Form darstellen. Die Schnittpunkte der 1-Form-Flächen mit den dualen 2-Form-Linien ergeben wiederum die Darstellung einer 3-Form. Unten werden wir sehen, dass diese 3-Form im Wesentlichen gleich der Volumenform ist. Siehe auch im Internet den Text von Selfridge, Arnold, Warnick: Electromagnetics.

Diese Vorgehensweise können wir auf den n-dimensionalen euklidischen Raum Rn verallgemeinern, wobei wir   x   =   (x1, x2, ... , xn)   schreiben. Wir definieren für die Basis-Formen:

Im n-dimensionalen euklidischen Raum Rn mit   x   =   (x1, x2, ... , xn)   definieren wir:

  *(dx1 Λ dx2 Λ ... Λ dxp)   :=   dxp + 1 Λ dxp + 2 Λ ... Λ dxn

und analog für jede Vertauschung (Permutation) der n Indices mit positivem Vorzeichen (Signum der Permutation gleich 1 , d.h. die Permutation entspricht einer gerade Anzahl von paarweisen Index-Vertauschungen; man spricht auch von orientierungserhaltenden Vertauschungen). Die allgemeine Form lautet (siehe z.B. Barner, Flohr: Analysis II, Aufg. 15 zu Kapitel 17.2):

  *(dxi1 Λ dxi2 Λ ... Λ dxip)   :=   ε   dxi(p+1) Λ dxi(p+2) Λ ... Λ dxin

Dabei haben wir die verschiedenen Indices durchnummeriert:   i1, i2, ... , in   . Insgesamt sind die Indices   ( i1, i2, ... , in )   eine Permutation der Zahlen   1, 2, ... , n   , und   ε   ist das Signum dieser Permutation. Zusätzlich fordern wir die Bedingung   i(p+1) < i(p+2) < ... < in  . Wegen der Antisymmetrie kann man daraus auch andere Index-Reihenfolgen erzeugen. Man erkennt weiterhin, dass der Hodge-Stern-Operator punktweise definiert ist, d.h. die obigen Formeln gelten in jedem Punkt p separat, ohne dass Umgebungen von Punkten gebraucht werden.

Damit wird aus jeder Basis-p-Form eine Basis- (n − p) -Form. Da die Zahl der Basis-Formen bei den p-Formen und den (n − p) -Formen gleich groß ist (wegen der Antisymmetrie), und da der Hodge-Sternoperator linear ist, haben wir so eine vollständige Definition dieses Operators auf den Differentialformen des Rn (dabei setzen wir voraus, dass die Basisvektoren   d/dxμ   orthonormal sind mit der üblichen euklidischen Metrik).

Bleibt die Frage: warum müssen die Koordinaten in der obigen Definition unbedingt euklidisch sein? Wofür braucht man in der Definition die Metrik überhaupt? Die Antwort lautet: Natürlich kann man die obige Definition im Prinzip auch für nicht-euklidische Koordinaten und allgemeiner sogar für Mannigfaltigkeiten ohne Metrik so treffen. Die Definition hängt dann allerdings von den gewählten Koordinaten ab! Im euklidischen Fall (allgemeiner: bei zueinander orthogonalen Koordinaten im betrachteten Punkt) dagegen führt die obige Definition letztlich zu einem Basis- und Koordinaten-unabhängigen Hodge-Stern-Operator. Die entsprechende basisfreie Formulierung werden wir weiter unten noch kennenlernen.

Man kann die obige Definition für euklidische Koordinaten auch noch etwas anders schreiben (siehe z.B. WolframResearch: Hodge Star, http://mathworld.wolfram/com/HodgeStar.html ). Dazu verwenden wir die Orthonormalbasisvektoren   d/dxμ   und führen die folgende kleine Rechnung durch:

  (*ω)p + 1, ... , n   =  
  =   (*ω)(d/dxp + 1, ... , d/dxn)   =  
  =   ( ω1, ... , p   *(dx1 Λ ... Λ dxp)   +   ...)   (d/dxp + 1, ... , d/dxn)   =  
  =   ( ω1, ... , p   dxp + 1 Λ ... Λ dxn   +   ...)   (d/dxp + 1, ... , d/dxn)   =  
  =   ω1, ... , p

(die anderen Terme, die wir durch   ...   angedeutet haben, fallen jeweils weg). Also haben wir:

In einer Orthonormalbasis   d/dxμ   gilt:

  (*ω)p + 1, ... , n   =   ω1, ... , p

und analog für jede Vertauschung (Permutation) der n Indices mit positivem Vorzeichen.

Es ist interessant, dass aus der Definition   *(dx1 Λ dx2 Λ ... Λ dxp)   :=   dxp + 1 Λ dxp + 2 Λ ... Λ dxn   der folgende Ausdruck folgt:

      (dx1 Λ dx2 Λ ... Λ dxp)   Λ   *(dx1 Λ dx2 Λ ... Λ dxp)   =  
  =   (dx1 Λ dx2 Λ ... Λ dxp)   Λ   (dxp + 1 Λ dxp + 2 Λ ... Λ dxn)   =  
  =     dx1 Λ dx2 Λ ... Λ dxn   =:   dV

d.h. es entsteht die Volumenform des Rn in karthesischen Koordinaten, die wir mit   dV   bezeichnet haben (dabei ist das   d   in dV nicht der d-Operator, sondern wir verwenden einfach die in der Physik übliche Schreibweise für ein Volumenelement). Durch Permutation der Indices mit positivem Signum erhält man entsprechende Gleichungen auch für die anderen Basis-Formen. Dabei ergibt sich (nach entsprechendem Umsortieren) jedesmal die Volumenform.


Wir wollen versuchen, die obigen Zusammenhänge in einer allgemeineren und Basis-unabhängigen Form zu schreiben. Außerdem wollen wir zu allgemeinen (nichteuklidischen) Mannigfaltigkeiten übergehen. Als Vorbereitung dazu wollen wir uns überlegen, dass eine Metrik auf den Tangentialvektoren auch eine Metrik auf den Differentialformen induziert (siehe auch Greg Egan: The Hodge dual: some definitions & examples, http://www.lns.cornell.edu/spr/2004-11/msg0064721.html ).

Erinnern wir uns (siehe Kapitel 5.1.9  Abstände und Winkel: die Metrik ): Die Metrik g ist eine bilineare Abbildung, die zwei Tangentialvektoren u und v eine reelle Zahl g(u,v) zuordnet (den Punkt p, an dem das Ganze ausgewertet wird, lassen wir hier weg). Wegen der Linearität kann man (bezogen auf Basisvektoren d/dxμ ) schreiben:

  g(u,v)   =   ∑μν   gμν uμ vν

mit   gμν   =   g(d/dxμ, d/dxν)  . Die Metrik ermöglichte es uns, eine Abbildung zwischen Tangential- und Co-Tangentialvektoren (1-Formen) zu konstruieren. So kann man einer 1-Form ω eindeutig einen Tangentialvektor vω zurodnen und umgekehrt einem Tangentialvektor v eindeutig eine 1-Form   ωv   zuordnen:

  ω u   =:   g(vω, u)       und
  ωv u   :=   g(v, u)      

für alle Tangentialvektoren u. In Komponenten ausgeschrieben bedeutet das für den oberen Fall (der untere geht analog):

  ωμ   =:   ∑ν   gμν vων

Oft schreibt man auch einfach   ων   statt   vων  . Diese Gleichung kann man auch anders schreiben, indem man zur metrischen Matrix (gegeben durch die Matrixelemente   gμν  ) die inverse Matrix einführt, deren Matrixelemente man mit   gμν   bezeichnet, d.h.

  ∑ρ   gμρ   g ρν   =   δμν

Damit erhält man dann:

  ∑ν   gμν ων   =:   vωμ

Man spricht auch vom Hochziehen des Indexes.

Auf diese Weise kann man aus der Metrik der Tangentialvektoren eine Metrik für die 1-Formen gewinnen. Wir wollen auch sie mit dem Buchstaben   g   bezeichnen, um nicht zuviele verschiedene Bezeichnungen einzuführen. Diese auf den 1-Formen induzierte Metrik definieren wir als

  g(ω, α)   :=   g(vω, vα)

mit den beiden 1-Formen ω und α. In Komponenten ausgeschrieben ergibt das:

  g(ω, α)   =   ∑μν   gμν ωμ αν

(Vorsicht: hier steht die inverse metrische Matrix!). Man sieht, wie praktisch die Schreibweise mit dem Hoch- und Runterziehen der Indices ist -- daher wird sie von Physikern so geliebt. Hin und wieder muss man sich allerdings daran erinnern, was man eigentlich tut.

Der nächste Schritt besteht darin, von einer Metrik für 1-Formen zu einer Metrik für p-Formen überzugehen. Betrachten wir dazu zunächst zwei 1-Formen   ω(1)   und ω(2)  . Die Schreibweise mit Klammer soll andeuten, dass es sich um eine Durchnummerierung der 1-Formen handelt, und nicht um Indices von Komponenten. Wir können nun das Tensorprodukt der 1-Formen bilden:   ω(1) ο ω(2)  , das definiert ist durch
  [ω(1) ο ω(2)] (u, v)   :=   (ω(1) u)   (ω(2) v)  
Auf diesem Tensorprodukt können wir nun eine Metrik definieren, die wir wieder mit g bezeichnen wollen:

  g( ω(1) ο ω(2) , α(1) ο α(2) )   :=   g(ω(1), α(1))   g(ω(2), α(2))

mit den zusätzlichen 1-Formen α(1) und α(2) . Rechts steht dabei zweimal die Metrik auf den 1-Formen, die wir oben bereits definiert hatten.

Wir können aus dem Tensorprodukt zweier 1-Formen durch Antisymmetrisieren das Dachprodukt machen und so zu 2-Formen übergehen:

  ω(1) Λ ω(2)   :=   ω(1) ο ω(2)   −   ω(2) ο ω(1)  

so dass   [ω(1) Λ ω(2)] (u, v)   =   (ω(1) u)   (ω(2) v)   −   (ω(2) u)   (ω(1) v)   ist. Die Metrik auf diesen 2-Formen definieren wir dann in naheliegender Weise durch formales Ausmultiplizieren:

  g( ω(1) Λ ω(2) , α(1) Λ α(2) )   =  
  =   g( ω(1) ο ω(2)   −   ω(2) ο ω(1)   ,   α(1) Λ α(2)   −   α(2) Λ α(1) )   :=  
  =   g(ω(1), α(1))   g(ω(2), α(2))   −   g(ω(1), α(2))   g(ω(2), α(1))   −   g(ω(2), α(1))   g(ω(1), α(2))   +   g(ω(2), α(2))   g(ω(1), α(1))   =  
  =   det( g(ω(i), α(j)) )

Dabei ist die Determinante der 2-mal-2-Matrix mit Matrixelementen   g(ω(i), α(j))   zu bilden. Für p-Formen ist analog die Determinante der entsprechenden p-mal-p-Matrix zu bilden, d.h. wir definieren:

  • Metrik auf dem p-fachen Dachprodukt von 1-Formen:

      g( ω(1) Λ ... Λ ω(p)   ,   α(1) Λ ... Λ α(p) )   :=   det( g(ω(i), α(j)) )

Dabei passt das Symmetrieverhalten der Determinante zum Symmetrieverhalten des Dachproduktes Λ , so dass die Definition Sinn macht. Nun kann man allerdings nicht jede p-Form als p-faches Dachprodukt aus 1-Formen schreiben. Aber: Man kann jede p-Form als Linearkombination von solchen p-fachen Dachprodukten aus 1-Formen schreiben. Da wir natürlich Linearität der Metrik fordern, können wir so die Metrik von p-Formen auf die Metrik p-facher Dachprodukte aus 1-Formen zurückführen. Explizite Formeln ersparen wir uns hier, da wir aus ihnen nichts Neues lernen.


Die Metrik war die erste Zutat für unsere angestrebte allgemeine Formulierung. Die zweite Zutat ist die Volumenform. Im euklidischen Rn hatten wir sie oben bereits kennengelernt. Den allgemeinen (nichteuklidischen) Fall kennen wir aus Kapitel 5.1.11: Höhere Differentialformen und der Integralsatz von Stokes. Dort hatten wir die Fläche   Aγ(T)   eines p-dimensionalen Flächenstücks γ(T) definiert über

  Aγ(T)   =   ∫T dA   :=   ∫T   √ [ |det( g( ui(γ(t)), uj(γ(t)) ) )| ]   dt1 dt2 ... dtp

Dabei war T der p-dimensionale reelle Parameterraum,   t   =   (t1, ... , tp)   ∈ T   war der Parametervektor, ui sind die Tangentialvektoren in ti -Richtung (entsprechen also Richtungsableitungen d/dti ), und γ war die Parametrisierungsfunktion des Flächenstücks, d.h. γ bildet den Parameterraum T eindeutig auf das Flächenstück ab. Im Unterschied zu Kapitel 5.1.11 haben wir hier noch Betragsstriche hinzugefügt, um auch den Fall negativer Determinante mit zu erfassen (wichtig, falls die Metrik nicht positiv definit ist).

Ein Spezialfall ergibt sich, wenn wir   p = n   setzen, d.h. die Dimension des Flächenstücks entspricht der Dimension der Mannigfaltigkeit. Der Flächeninhalt entspricht dann anschaulich einem p-dimensionalen Volumeninhalt von einem Teilvolumen der Mannigfaltigkeit. Wegen p = n können wir die Parameter ti als Koordinaten xi der Mannigfaltigkeit betrachten, d.h. γ− 1 ist eine Koordinatenfunktion (Karte) auf dem betrachteten Teilvolumen der Mannigfaltigkeit. Da das obige Integral unabhängig von der konkreten Parametrisierungsfunktion ist (Beweis analog zum entsprechenden Beweis bei Differentialformen in Kapitel 5.1.11), ist es umgekehrt auch koordinatenunabhängig. Es spricht also nichts dagegen, ti = xi zu wählen. Aus den Tangentialvektoren ui werden dann die Basisvektoren d/dxi , und aus   g(ui, uj)   wird   g(d/dxi, d/dxj)   =   gij  . Aus Gründen der Gewohnheit wollen wir statt dessen wieder   gμν   schreiben. Das Volumenintegral lautet also:

  Vγ(T)   =   ∫T dV   :=   ∫T   √ [ |det( gμν )| ]   dx1 dx2 ... dxn

Dabei ist die Determinante der metrischen Matrix immer am jeweiligen Punkt γ(x) auszuwerten! Das Integral rechts kann man wiederum als Integral über die n-Form

  dV   :=   √ [ |det( gμν )| ]   dx1 Λ dx2 Λ ... Λ dxn

schreiben, denn nach Definition des Integrals über Differentialformen gilt für die spezielle Parametrisierung t = x die Beziehung

  ∫T dV   =  
  =   ∫T   √ [ |det( gμν(γ(t)) )| ]   [dx1 Λ ... Λ dxn] (u1(γ(t), ... , un(γ(t))   dt1 dt2 ... dtn   =  
  =   ∫T   √ [ |det( gμν(γ(x)) )| ]   [dx1 Λ ... Λ dxn] (d/dx1, ... , d/dxn)   dx1 dx2 ... dxn   =  
  =   ∫T   √ [ |det( gμν )| ]   dx1 dx2 ... dxn

(da die Wahl der Parametrisierung egal ist, dürfen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit so vorgehen). Halten wir fest:

  • Volumenform auf n-dimensionalen (ggf. nicht-euklidischen) Mannigfaltigkeiten:

    Die Volumenform dV ist auf n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten M (mit Metrik) in Koordinaten gegeben durch

      dV   :=   √ [ |det( gμν )| ]   dx1 Λ dx2 Λ ... Λ dxn

    Das Integral

      Vγ(T)   =   ∫T dV   =   ∫T   √ [ |det( gμν )| ]   dx1 dx2 ... dxn

    definiert den Volumeninhalt der Menge γ(T) (die natürlich hinreichend gutartig sein muss), in Analogie zur Definition des Flächeninhalts aus Kapitel 5.1.11 . Dabei ist γ eine Abbildung des n-dimensionalen reellen Parameterbereichs T nach M. Man kann Beispielsweise die Koordinatenfunktion f einfach gleich γ− 1 wählen. Insgesamt ist das Volumenintegral unabhängig von der Parametrisierung und der Koordinatenwahl. Der Vorfaktor   √ [ |det( gμν )| ]   berücksichtigt, dass bei der Parametrisierungsabbildung γ das Volumenelement   dx1 dx2 ... dxn   des Parameterraums verzerrt und dabei vergrößert oder verkleinert werden kann (man denke an krummlinige Koordinaten).
    Bitte beachten: Der Vorfaktor   √ [ |det( gμν )| ]   ist vom Transformationsverhalten her keine skalare Funktion, sondern der Koeffizient einer n-Form. Bei Koordinatentransformationen tritt als Umrechnungsfaktor die Jacobi-Determinante des Koordinatenwechsels auf -- deshalb ist das Integral über dV auch koordinaten-invariant! Eine solche Größe bezeichnet man in der physikalischen Literatur auch oft als Dichte.

Wer möchte, kann diese Definition beispielsweise im dreidimensionalen Raum in Kugelkoordinaten   x1 = r  ,   x2 = θ   und   x3 = φ   einmal ausprobieren (alle Winkel angegeben in Bogenmaß). Die Determinante der Metrik ergibt gerade den passenden Gewichtsfaktor   r2 sin(θ)  , so dass im Integrand der wohlbekannte Term   r2 sin(θ) dr dθ dφ   entsteht, den man auch anschaulich als kleines Volumenelement in Kugelkoordinaten verstehen kann.


Damit haben wir nun alle Zutaten für eine allgemeine Definition des Hodge-Stern-Operators zusammen. Wir definieren nun:

  • Hodge-Stern-Operator auf (ggf. nicht-euklidischen) Mannigfaltigkeiten:

    Auf einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten M (mit Metrik) definieren wir den Hodge-Stern-Operator   *   als eine lineare Abbildung von den p-Formen in die (n − p) -Formen, die zusätzlich die Bedingung

      α Λ (*ω)   :=   g(α, ω)   dV

    erfüllt. Dabei sind α und ω   p-Formen, dV ist die Volumenform, und   g(α, ω)   ist die Metrik zwischen den p-Formen.

Anmerkung: In manchen Texten (for allem in der physikalischen Literatur) ist die obige Formel zur Definition des Hodge-Stern-Operators in Tensor-Komponentenschreibweise angegeben, d.h. man schreibt die obige Formel explizit in Komponenten aus. Dabei tritt der antisymmetrische Levi-Civita-Tensor auf, multipliziert mit   √ [ |det( gμν )| ]  . Der Zusammenhang mit unserer Formel wird sichtbar, wenn man sich klar macht, dass der Levi-Civita-Tensor gerade dem Term   dx1 Λ dx2 Λ ... Λ dxn  , angewendet auf die Basisvektoren   d/dxμ, d/dxρ, ...   entspricht. Wir gehen hier nicht näher darauf ein.

Für eine p-Form ω mit   g(ω, ω)   = 1   ergibt sich nach unserer Formel nun   ω Λ (*ω)   =   dV  , d.h. anschaulich wird das Volumenelement gleichsam in zwei Teile aufgeteilt. Veranschaulichen wir uns diesen Vorgang im dreidimensionalen Raum: Die Volumenform dV wird hier durch eine Wolke aus gleichmäßig verteilten Punkten dargestellt, z.B. an den Gitterpunkten eines Würfelgitters. Die Zahl der Punkte in einem Raumbereich entspricht dann dem Volumen dieses Bereichs. Wir wollen nun diese Volumenform in eine 2-Form   ω   und die zugehörige duale 1-Form   *ω   aufteilen, wobei   g(ω, ω)   = 1   und   ω Λ (*ω)   =   dV   sein soll. Dies können wir dadurch tun, dass wir die Punkte der Volumenform als Schnittpunkte zweidimensionaler Flächen (entsprechend einer 1-Form) mit dazu senkrecht stehenden eindimensionalen Geraden (entsprechend der zur 1-Form dualen 2-Form) darstellen. Eine ähnliche Darstellung haben wir weiter oben bereits gesehen -- allerdings wurde die 2-Form dort durch viereckige Schläuche und die Volumenform durch ein dreidimensionales Gitter dargestellt.

Für eine euklidische Metrik haben wir die Beziehung   α Λ (*ω)   :=   g(α, ω)   dV   für eine spezielle Basis-Form weiter oben bereits kennengelernt:

      (dx1 Λ ... Λ dxp)   Λ   *(dx1 Λ ... Λ dxp)     =     dx1 Λ ... Λ dxn   =   dV

Auf diese Weise kann man die von oben bekannten Formeln für den euklidischen Fall aus der neuen verallgemeinerten Definition zurückgewinnen. Die neue verallgemeinerte Definition kann man aber über den euklidischen Fall hinaus verwenden, beispielsweise auch bei einer nicht-positiv-definiten Metrik wie in der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie. Die Metrik der p-Formen führt hier ggf. zu weiteren Vorzeichen. Die allgemeine Formel für   *(dxi1 Λ ... Λ dxip)   im nicht-euklidischen Fall findet man beispielsweise bei PlanetMath.org: Hodge star operator unter http://planetmath.org/encyclopedia/HodgeStarOperator.html . Sie lautet:

Dabei ist   |g|   =   |det( gμν )|   die Determinante der metrischen Matrix, und ε ist das Signum der durch die Indices angegebenen Permutation.


Gradient und Divergenz:

Aus der Vektor-Analysis kennt man den Gradienten einer skalaren Funktion und die Divergenz eines Vektorfeldes. Beide Begriffe können wir mit Hilfe der Metrik und des Hodge-Stern-Operators in koordinatenfreier Weise auf Differentialformen und deren äußere Ableitung zurückführen.

Für den Gradienten kennen wir dies bereits aus Kapitel 5.1.11: Höhere Differentialformen und der Integralsatz von Stokes und Kapitel 5.1.9: Abstände und Winkel: die Metrik. Kurze Wiederholung:

  • Gradient:
    Der Gradient einer skalaren Funktion φ ist ein Vektorfeld, das für beliebige Vektorfelder u die folgende Bedingung erfüllt:

      g( grad φ, u)   =   dφ u

Oben hatten wir die Schreibweise vω über die Beziehung   ω u   =:   g(vω, u)   eingeführt, d.h. die Komponenten des Vektorfeldes vω entstehen aus den Komponenten von ω durch Hochziehen des Indexes über die inverse metrische Matrix (siehe oben). In dieser Schreibweise wäre dann

  grad φ   =   v

oder in Komponenten

  (grad φ)μ   =   ∑ν   gμν (dφ)ν   =   ∑ν   gμν dφ/dxν

Auf diese Weise konnten wir Wegintegrale über eine 1-Form dφ in die Schreibweise überführen, wie sie in der Vektoranalysis und der Physik geläufig ist (Details siehe Kapitel 5.1.11: Höhere Differentialformen und der Integralsatz von Stokes ):

  ∫T dφ   =     ∫T (dφ u) dt   =   ∫T g( grad φ, u) dt   =:   ∫T g( grad φ, dx)  

In diesem Sinn kann man dann auch den Ausdruck   g( grad φ, dx)   als 1-Form interpretieren. Im euklidischen Fall schreiben wir die 1-Form dφ daher auch als formales euklidisches Skalarprodukt
  dφ   =   á grad φ, dx ñ

Soviel zum Gradienten -- das kannten wir alles schon. Die Metrik und der damit definierte Hodge-Stern-Operator ermöglichen es uns nun weiter, auch die Divergenz eines Vektorfeldes in die Schreibweise der Differentialformen zu übersetzen. Dies hat -- wie schon beim Gradienten -- den Vorteil, dass die Definition koordinatenunabhängig erfolgt und sich auch in gekrümmten Räumen anwenden lässt (in der Vektoranalysis und in der Physik geht man meist von euklidischen Koordinaten aus und steht dann vor dem Problem, wie man die Divergenz beispielsweise in Kugelkoordinaten übersetzen soll).

Um den Leser nicht weiter auf die Folter zu spannen (irgendwo muss man schließlich anfangen): hier ist die koordinatenunabhängige Definition der Divergenz (siehe z.B. Dirk Ferus: Analysis III, Kap. 11.2.2, http://www.math.tu-berlin.de/~ferus/ANA/Ana3.pdf ):

  • Divergenz:
    Die Divergenz eines Vektorfeldes v ist eine skalare Funktion   div v  , die wie folgt definiert ist:

      div v   =   (− 1)s   * d * ωv

    Dabei ist s die Signatur (der Index) der Metrik (also die Zahl der negativen Eigenwerte der metrischen Matrix), und ωv ist die 1-Form, die dem Vektorfeld v über die Metrik zugeordnet ist:   ωv u   :=   g(v,u)   für beliebige u.

Die Formel ist zunächst etwas unübersichtlich. Wir wollen daher schrittweise versuchen, sie zu verstehen und mit bekannten Aspekten der Divergenz in Beziehung zu bringen:

Wir starten mit einem Vektorfeld v, dessen Divergenz wir bestimmen wollen. Dazu machen wir aus dem Vektorfeld zunächst mit Hilfe der Metrik durch Herunterziehen der Indices die zugehörige 1-Form ωv , d.h.   ωv u   =   g(v,u)  . Diese 1-Form können wir uns durch (n − 1) -dimensionale Flächen veranschaulichen. Der Wert von   ωv u   entspricht der Anzahl der Flächen, die u durchstößt. Diese Anzahl ist nach Definition auch gleich   g(v,u)  . Wir können uns daher im euklidischen Fall den Vektor v auch als Normalenvektor zu den ωv -Flächen vorstellen, dessen Länge die Dichte der Flächen in v-Richtung ergibt. Die Projektion von u auf diesen Normalenvektor ergibt dann die Dichte der Flächen in u-Richtung.


Einem Vektor v kann man über die Metrik eine 1-Form ωv zuordnen, so dass   ωv u   =   g(v,u)   für jeden Vektor u ist. Im dreidimensionalen euklidischen Raum wird ωv durch Flächen senkrecht zu v dargestellt, wobei die Dichte der Flächen proportional zur Länge von v ist. Die Zahl der von einem Vektor u durchstoßenen Flächen ist dabei gleich dem Skalarprodukt (der Metrik) von u und v.

Ein Beispiel: im euklidischen R3 betrachten wir in karthesischen Koordinaten das Vektorfeld
  E   =   E1 d/dx1 + E2 d/dx2 + E3 d/dx3  
Physiker können sich hier beispielsweise ein statisches elektrisches Feld vorstellen. Die zugehörige 1-Form (die wir zur Vereinfachung   E   nennen, also ohne Fettdruck) lautet dann
  E   :=   ωE   =   E1 dx1 + E1 dx1 + E1 dx1  
mit   Ei = Ei   wegen der euklidischen Metrik und den karthesischen Koordinaten. Wir schreiben auch formal E als euklidisches Skalarprodukt
  E   =:   á E, dx ñ  
(diese Schreibweise ist in der Physik recht beliebt; im Kurvenintegral über E wird dx zum Linienelement-Vektor).

Aus der 1-Form ωv machen wir nun über den Hodge-Stern-Operator die (n − 1) -Form   * ωv  . Diese 1-Form wird durch 1-dimensionale Linien (auch Flusslinien oder Flussröhren genannt) dargestellt, die im euklidischen Fall senkrecht zu den ωv -Flächen liegen. Damit liegen sie (zumindest bei euklidischer Metrik) anschaulich parallel zu den ursprünglichen v-Vektoren. Wir haben also das v-Vektorfeld durch die Konstruktion   * ωv   in das Flusslinienfeld einer (n − 1) -Form verwandelt. Das Flächenintergal dieser Form über eine (n − 1) -dimensionale Fläche entspricht der Zahl der Flusslinien durch die Fläche. Wir wollen daher   * ωv   auch als Flussform bezeichnen. Manchmal spricht man auch davon, dass man diese Flussform durch Kontraktion des Vektorfeldes v mit der Volumenform dV erhält (siehe z.B. PlanetMath: differential form, http://planetmath.org/encyclopedia/DifferentialForms.html ). In unserem dreidimensionalen euklidischen Beispiel ist dann
  *E   =   E1 dx2 Λ dx3   +   E2 dx3 Λ dx1   +   E3 dx1 Λ dx2   =:   á E, dA ñ  
(um wieder die Physiker-Schreibweise zu erwähnen; im Flächenintegral über *E wird dA zum Normalenvektor eines Flächenelements).

Der nächste Schritt besteht darin, den d-Operator auf diese Flussform anzuwenden. Auf diese Weise ermitteln wir die Entstehungsdichte für die Flusslinien (siehe die Interpretation des d-Operators in Kapitel 5.1.11: Höhere Differentialformen und der Integralsatz von Stokes ). Diese Entstehungsdichte   d * ωv   ist eine n-Form analog zur Volumenform dV . Die Punktwolke, die diese n-Form darstellt, besteht gerade aus den Entstehungspunkten der Flusslinien. Der Integralsatz von Stokes besagt nun

  ∫T   d * ωv   =   ∫δT   * ωv

d.h. der Fluss gemäß der Flussform   * ωv   durch den Rand eines Gebietes entspricht der Anzahl der im Gebiet entstandenen Flusslinien. Genau solche Aussagen und Interpretationen kennt man für die Divergenz aus der Vektoranalysis:

  ∫T   (div v) dV   =   ∫δT   g(v,dA)

Hier entspricht   div v   der Quelldichte für das Fektorfeld v, und   g(v,dA)   ist der Fluss von v durch das Flächenelement dA . Wie man sieht, entspricht die Flussform   * ωv   dem Objekt   g(v,dA)  , bei dem dA eine Art Normalenvektor zum Flächenelement darstellt. Letztlich müsste man sogar   * ωv   =:   g(v,dA)   definieren, um dem Ausdruck   g(v,dA)   in beliebiger Metrik einen Sinn zu geben. Analog definieren wir

  • Divergenz (gleichwertige Definition):

      d * ωv   =:   (div v) dV

so dass sich auch für die linke Seite die aus der Vektoranalysis gewohnte Schreibweise ergibt. Betrachten wir zur Veranschaulichung wieder unser dreidimensionales euklidisches Beispiel: Es ist
  d*E   =   ( dE1/dx1 + dE2/dx2 + dE3/dx3 )   dx1 Λ dx2 Λ dx3
oder in Kurzform
  d á E, dA ñ   =   (div E) dV
so dass der Satz von Stokes die in der Physik übliche Form annimmt:
  ∫T   (div E) dV   =   ∫δT   á E, dA ñ
Mit unserer obigen Definition der Divergenz haben wir jedoch (anders als in der euklidischen Physiker-Schreibweise) eine Formulierung in der Hand, die auch auf höherdimensionale gekrümmte Räume in krummlinigen Koordinaten sogar bei nicht-positiv definiter Metrik (Relativitätstheorie!) sofort anwendbar ist! Und auch im dreidimensionalen Raum können wir so direkt die Divergenz beispielsweise in Kugelkoordinaten hinschreiben!

Überprüfen wir noch, dass sich aus dieser Definition die oben bereits erwähnte Definition ergibt. Dazu wenden wir den Sternoperator auf die neue Definition   d * ωv   =:   (div v) dV   an:

  * d * ωv   =   * [(div v) dV]   =   (div v) *dV

Nun müssen wir noch *dV ausrechnen. Dazu setzen wir in   α Λ (*ω)   :=   g(α, ω)   dV   für α und ω die Volumenform dV ein:

  dV Λ (*dV)   =   g(dV, dV)   dV

Nun ist

  g(dV, dV)   =  
  =   g( √ [ |det( gμν )| ]   dx1 Λ ... Λ dxn   ,   √ [ |det( gμν )| ]   dx1 Λ ... Λ dxn )   =  
  =   |det( gμν )|   g( dx1 Λ ... Λ dxn   ,   dx1 Λ ... Λ dxn )   =  
  =   |det( gμν )|   det( gρσ )   =  
  =   (− 1)s

da die Matrix   ( gμν )   invers zur Matrix   ( gρσ )   ist. Dabei ist s gerade so definiert, dass   (− 1)s   das Vorzeichen der Determinante der metrischen Matrix ergibt. Diagonalisiert man die metrische Matrix, so ist die Determinante gleich dem Produkt der Eigenwerte dieser Matrix. Das Vorzeichen der Determinante ist damit gleich   (− 1)s  , wobei s die Anzahl der negativen Eigenwerte ist. Gerade so hatten wir weiter oben s auch definiert.

Wir setzen dieses Ergebnis nun oben ein und erhalten:

  dV Λ (*dV)   =   (− 1)s   dV

Da (*dV) eine Null-Form ist (also eine skalare Funktion), wird aus dem Dachprodukt links ein normales Produkt. Vergleichen wir beide Seiten, so erhalten wir

  (*dV)   =   (− 1)s

Dies können wir nun in unsere obige Gleichung   * d * ωv   =   * [(div v) dV]   =   (div v) *dV   einsetzen:

  * d * ωv   =   * [(div v) dV]   =   (div v) (− 1)s

Nach   div v   freigestellt erhalten wir so unsere erste Definition der Divergenz zurück.


Der dreidimensionale Raum: Kreuzprodukt und Rotation

Wir wollen uns noch zwei Spezialitäten des dreidimensionalen Raums und ihre Formulierung über Differentialformen und den Hodge-Operator ansehen: das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) und die Rotation.

Beginnen wir mit dem Kreuzprodukt: Das Kreuzprodukt   w   :=   u x v   zweier Vektoren u und v im dreidimensionalen euklidischen Raum ist so definiert, dass die Länge von w gleich der Fläche des von u und v aufgespannten Parallelogramms ist, und dass w senkrecht auf u und v steht. Die Richtung von w ist so festgelegt, dass die Orientierung von u, v und w dieselbe ist wie die Orientierung der drei karthesischen Standard-Basisvektoren (Rechte-Hand-Regel). In karthesischen Koordinaten bedeutet das, dass die Matrix mit den drei Spaltenvektoren   (u, v, w)   eine positive Determinante besitzt (siehe z.B. Wikipedia: Kreuzprodukt ).



Kreuzprodukt zweier Vektoren a und b im dreidimensionalen Raum.

In karthesischen Koordinaten kann man eine einfache Formel zur Berechnung der Komponenten des Kreuzproduktes   w   :=   u x v   angeben:

  wμ   =   ∑νρ   εμνρ uν vρ

mit dem Levi-Civita-Symbol   εμνρ   =   sign(μνρ)   (also das Signum der Permutation von   (1, 2, 3)   nach   (μ, ν, ρ)  . Die Indices laufen von 1 bis 3 (wir betrachten ja momentan nur den dreidimensionalen Raum).

Wie können wir diese Konstruktion nun mit Hilfe von Differentialformen formulieren? Als ersten Schritt konstruieren wir dazu wieder mit Hilfe der Metrik (durch Herunterziehen der Indices) die zu den Vektoren zugehörigen 1-Formen ωu, ωv und ωw und bilden analog zum antisymmetrischen Kreuzprodukt nun das antisymmetrische Dachprodukt   ωu Λ ωv  . Dieses Dachprodukt wird anschaulich durch die Schnittlinien der ωu -Flächen mit den ωv -Flächen dargestellt (diese Flächen stehen jeweils senkrecht auf den Vektoren u und v). Man kann sich überlegen, dass sich die Dichte dieser Schnittlinien proportional zur der Fläche des von u und v aufgespannten Parallelogramms verhält, und dass die Schnittlinien senkrecht zu u und v liegen. Mit Hilfe des Hodge-Stern-Operators können wir nun aus den Schnittlinien die dazu senkrechten Flächen der 1-Form   * (ωu Λ ωv)   gewinnen. Der zugehörige Vektor steht senkrecht auf diesen Flächen, liegt also parallel zu den Schnittlinien und ist damit senkrecht zu u und v. Seine Länge ist proportional zur Schnittliniendichte und damit proportional zur u - v -Parallelogrammfläche, so wie es das Vektorprodukt verlangt. Man könnte also   ωu x v   zumindest proportional zu   * (ωu Λ ωv)   definieren. Wenn man noch einmal den Hodge-Operator anwendet, so findet man durch explizites Ausrechnen (das wir uns hier ersparen wollen), dass die folgende Definition die korrekte Wahl ist (siehe z.B. Dirk Ferus: Analysis III, Kap. 9.1.2, http://www.math.tu-berlin.de/~ferus/ANA/Ana3.pdf ):

  • Kreuzprodukt im dreidimensionalen Raum:

    u x v   :=   ωu Λ ωv

Diese Formel kann nur im dreidimensionalen Raum funktionieren, denn die rechte Seite ist das Dachprodukt zweier 1-Formen, also eine 2-Form, und die linke Seite ist der Hodge-Operator, angewendet auf eine 1-Form, also eine (n − 1) -Form. Nur für n = 3 ist eine (n − 1) -Form eine 2-Form!

Anmerkung:
Man kann das Kreuzprodukt auf den n-dimensionalen Fall verallgemeinern (siehe z.B. http://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt ). Nehmen wir als Beispiel den vierdimensionalen Fall in karthesischen Koordinaten:

  (u x v x w)μ   :=   ∑νρσ   εμνρσ uν vρ vσ

mit dem Levi-Civita-Symbol   εμνρσ   =   sign(μνρσ)  . Für Differentialformen lautet die entsprechende Formel dann

u x v x w   :=   ωu Λ ωv Λ ωw

Rechts steht eine 3-Form, und links eine (n − 1) -Form, also für n = 4 auch eine 3-Form. Dies macht deutlich, warum man für das Kreuzprodukt im n-dimensionalen Raum immer (n − 1) Vektoren benötigt.

Kommen wir zur Rotation im dreidimensionalen Fall. In karthesischen Koordinaten wird die Rotation eines Vektorfeldes gerne formal als Kreuzprodukt geschrieben:

  (rot v)μ   =   (∇ x v)   =   ∑νρ   εμνρ d/dxν vρ

Dabei sind in karthesischen Koordinaten in euklidischer Metrik die Komponenten von ∇ definiert als   ∇μ   =   ∇μ   =   d/dxμ  . Versuchen wir, die Formel   *ωu x v   :=   ωu Λ ωv   formal entsprechend zu übersetzen:   *ω∇ x v   :=   ω Λ ωv   =   dωv

Den letzten Schritt sieht man sofort, wenn man die Ausdrücke in Komponenten entwickelt. Unser Ergebnis lautet also:

  • Rotation im dreidimensionalen Raum:

    v   =   *ωrot v

Anschaulich bedeutet das: dωv wird durch die Entstehungskanten der ωv -Flächen (die senkrecht zu v stehen) dargestellt. Diese Entstehungskanten bilden die Flussform des Vektorfeldes   rot v   (siehe rechte Seite).


Rotation: In hellblau ist eine Fläche (ein Blatt) der 1-Form ωv dargestellt (der Vektor v steht senkrecht dazu). Der blaue Pfeil stellt die (orientierte) Entstehungskante dieser Fläche dar, die zur 2-Form dωv gehört. Diese Entstehungskante führt zu einem Flussbeitrag durch die gelbe Fläche A. Diesen Fluss interpretiert man durch die rechte Seite der Formel   dωv   =:   *ωrot v   als Fluss des Vektorfeldes   rot v   durch die Fläche. Wie man sieht, gehört zu jeder Entstehungskante, die die Fläche A durchstößt, eine hellblaue Fläche der 1-Form ωv , die vom Rand der Fläche durchstoßen wird. Das Linienintegral von ωv über den Rand der Fläche A zählt diese durchstoßenen Flächen und ist damit gleich dem Flussintegral der Entstehungskanten (d.h. dem Integral von dωv ) durch die Fläche A (Satz von Stokes).

Schauen wir uns diesen Zusammenhang noch einmal an unserer Beispiel-1-Form   E   :=   ωE   =   á E, dx ñ   von oben an. Die Flussform   *ωrot E   schreiben wir analog zu oben dann als   á rot E, dA ñ  . In dieser Schreibweise wird aus   dωE   =   *ωrot E   die Formel
  d á E, dx ñ   =   á rot E, dA ñ
so dass der Satz von Stokes wieder die in der Physik übliche Form annimmt:
  ∫T   á rot E, dA ñ   =   ∫δT   á E, dx ñ
Dabei wird links über eine zweidimensionale Fläche integriert, rechts dagegen über den Rand der Fläche.

Fassen wir noch einmal zum Schluss unsere Ergebnisse in möglichst einheitlicher Schreibweise zusammen, wobei wir jeweils die Schreibweise aus der dreidimensionalen euklidischen Vektoranalysis in einer zweiten Zeile beifügen:

  • Gradient:
    dφ   =:     ωgrad φ
    dφ   =   á grad φ, dx ñ

  • Divergenz:
    d * ωv   =:   (div v) dV
    d á E, dA ñ   =   (div E) dV

  • Rotation im dreidimensionalen Raum:
    v   =:   *ωrot v
    d á E, dx ñ   =   á rot E, dA ñ


Der vierdimensionale Raum: Dualität, Relativitätstheorie und Maxwellgleichungen

Der Hodge-Stern-Operator macht aus einer p-Form eine (n − p) -Form. In Räumen mit geradzahliger Dimension n gibt es daher eine Besonderheit: n/2 -Formen werden auf n/2 -Formen abgebildet. So auch im vierdimensionalen Raum: 2-Formen werden auf 2-Formen abgebildet. Man sagt, der Hodge-Stern-Operator ist ein Endomorphismus im Vektorraum der 2-Formen. Man kann daher (wie immer bei Vektorräumen) nach Eigenwerten und Eigenvektoren (Eigen-Formen) des Hodge-Stern-Operators fragen.

Nun hat der Hodge-Stern-Operator die folgende generelle Eigenschaft: bei zweifacher Anwendung wird im n-dimensionalen Raum aus einer p-Form wieder dieselbe p-Form, allerdings eventuell mit einem Vorzeichenwechsel. Man kann nachrechnen, dass dieses Vorzeichen so aussieht:

  **ω   =   (− 1)p (n − p)  +   s   ω

(siehe z.B. Wikipedia: Hodge dual, http:/en.wikipedia.org/wiki/Hodge_star ). Dabei ist s wieder die Signatur der Metrik, also die Zahl der negativen Eigenwerte der metrischen Matrix bzw. das Vorzeichen der Determinante dieser Matrix (siehe oben).

Betrachten wir zunächst den Fall vierdimensionaler Räume mit positiv definiter Metrik, also   s = 0  . Solche Räume heißen auch Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Bei 2-Formen gilt dann:   **ω   =   ω  . Wenn nun ω eine Eigenform des Hodge-Stern-Operators mit reellem Eigenwert λ ist (also   *ω   =   λ ω  ), so folgt aus   **ω   =   ω   für den reellen Eigenwert λ die Gleichung   λ2 = 1   und somit   λ = ± 1  . Wir haben also zwei Sorten von Eigenformen in vierdimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeiten:

Eine beliebige 2-Form ω kann man nun immer als Summe einer selbstdualen und einer anti-selbstdualen 2-Form darstellen (so wie man eine Matrix immer als Summe einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Matrix schreiben kann):

  ω   =   (ω + *ω)/2   +   (ω − *ω)/2

Diese Konstruktion funktioniert nur, wenn   **ω   =   ω   ist! Man kann weiter zeigen, dass   g(α, ω)   mit einer selbstdualen 2-Form α und einer anti-selbstdualen 2-Form ω gleich Null ist, d.h. selbstduale und anti-selbstduale 2-Formen sind in diesem Sinn senkrecht zueinander. Der 6-dimensionale Raum der 2-Formen lässt sich also als direkte Summe aus einem dreidimensionalen selsbtdualen und einem dreidimensionalen anti-selbstdualen Unterraum zusammensetzen.

Wie sieht es nun bei vierdimensionalen Semi-Riemannschen Mannigfaltigkeiten aus, bei denen die Metrik nicht positiv definit ist? Betrachten wir speziell den Fall mit   s = 3   aus der allgemeinen Relativitätstheorie (manche Bücher verwenden auch die Konvention   s = 1  ). Bei 2-Formen ist dann   **ω   =   − ω  . Ein Eigenwert λ müsste demnach die Gleichung   λ2 = − 1   erfüllen. Da wir uns auf reelle Mannigfaltigkeiten beschränken, so dass die 2-Formen einen reellen Vektorraum bilden, hat diese Gleichung keine Lösung in den reellen Zahlen. Die Folge davon ist: In der Relativitätstheorie hat der Hodge-Sternoperator keine Eigen-Formen.

Man kann 2-Formen dazu verwenden, um beispielsweise die Maxwellgleichungen der Elektrodynamik (in ihrer relativistischen Formulierung) in die Sprache der Differentialformen zu übersetzen (zu den Maxwellgleichungen siehe z.B. Die Grenzen der Berechenbarkeit, Kapitel 5.4.4: Die kanonische Quantisierung des freien elektromagnetischen Feldes, die spezielle Relativitätstheorie ist in Die Symmetrie der Naturgesetze, Kapitel 3.1 Die Poincare-Gruppe und den darauf folgenden Kapiteln beschrieben). Als Mannigfaltigkeit dient der Minkowskiraum mit seiner nicht-positiv-definiten Minkowskimetrik, bei dem eine Koordinate (die Null-te) der Zeit entspricht.

Man startet mit dem Feldtensor Fμν, zieht die Indices mit der Metrik nach unten und bildet die 2-Form

  F   :=   ∑μν   Fμν / 2   dxμ Λ dxν

Der Faktor   1/2   dient nur dazu, die Doppelzählungen in der Summe entsprechend wieder gutzumachen. Die dazu duale 2-Form *F wird mit Hilfe des Hodge-Stern-Operators gebildet. Mit F und *F lauten die Maxwellgleichungen in geeigneten Maßeinheiten:

  dF   =   0
  d*F   =   *j

(siehe z.B. How to Write Maxwell's Equations an a T-Shirt, http://wiki.yak.net/591/howto.pdf oder Oliver Mülken: Differentialgeometrische Beschreibung der Messung elektromagnetischer Größen, http://top10.physik.uni-freiburg.de/~muelken/work/STUDY.pdf ; manchmal definiert man die Stromform auch anders, so dass die zweite Gleichung   d*F   =   j   oder   d*F   =   4π *j   lautet)

Wie kann man diese beiden Formeln verstehen?

Betrachtet man F, so findet man darin für die räumlichen Koordinaten die Flussform   á B, dA ñ   des Magnetischen Feldes. Die Gleichung   dF   =   0   führt dann zu   d á B, dA ñ   =   á div B, dV ñ   =   0   und somit zu

  div B   =   0  .

Die Zeit-Zeit-Komponente ist Null. Aber F enthält noch raum-zeitliche Komponenten, die im Wesentlichen aussehen wir   á E, dx ñ   Λ   (c dt)  . Da   d á E, dx ñ   =   á rot E, dA ñ   ist, entsteht dadurch letztlich die Maxwellgleichung

  rot E   =   − dB/(c dt)  

Also repräsentiert   dF   =   0   die beiden homogenen Maxwellgleichungen.

Analog geht es bei   d*F   =   j  . Der Hodge-Stern-Operator bewirkt, dass   d*F   genau umgekehrt zu F die Flussform   á E, dA ñ   und die Form   á B, dx ñ   Λ   (c dt)   enthält. Damit entstehen die beiden inhomogenen Maxwellgleichungen

  div E = ρ  
  rot B   =   j/c + dE/(c dt)  


Links: Die Punkte (grün) der Ladungs-3-Form   ρ dV   erzeugen die Linien (rot) der elektrischen Flussform   á E, dA ñ  ,
d.h. die Punktwolke der Ladungs-3-Form bildet die Anfangspunkte für die Linien der elektrischen Flussform. Entsprechend gilt:
  d á E, dA ñ   =   (div E) dV   =   ρ dV  , also   div E   =   ρ  

Rechts: Die Linien (rot) der Strom-2-Form   á j/c, dA ñ   erzeugen Flächen (blau) der magnetischen 1-Form   á B, dx ñ  , d.h. es ist
d   á B, dx ñ   =   á rot B, dA ñ   =   á j/c, dA ñ  , also   rot B   =   j/c   (wir gehen hier davon aus, dass kein sich zeitlich veränderndes elektrisches Feld vorhanden ist).
Siehe auch im Internet unter Selfridge, Arnold, Warnick: Electromagnetics.

Allerdings haben die beiden Formeln   dF   =   0   und   d*F   =   j   einen Vorteil gegenüber der üblichen Formulierung der Maxwellgleichungen: Sie sind auch in einer gekrümmten Raumzeit sinnvolle Gleichungen, d.h. sie verallgemeinern die Maxwellgleichungen für die allgemeine Relativitätstheorie. Mit ihrer Hilfe müsste man die Bahn eines Lichtstrahls im Gravitationsfeld ausrechnen können. Das Ergebnis müsste eine Geodäte mit verallgemeinerter Bogenlänge (entsprechend der Eigenzeit) Null sein. Mehr dazu in den nächsten Kapiteln zur allgemeinen Relativitätstheorie.


Literatur zu dem Thema:


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last modified on 30 December 2008