Kapitel 5
Die allgemeine Relativitätstheorie

1   Gekrümmte Räume (über die Grundlagen der Differentialgeometrie)

2   Topologische Räume

Wenn wir von allgemeinen gekrümmten Räumen reden wollen, so müssen wir zunächst klären, was wir unter einem allgemeinen Raum verstehen wollen. Die Anschauung zwei- und dreidimensionaler Räume soll uns dabei zwar leiten, aber wir wollen uns eine allgemeinere Grundlage schaffen, um die Begriffe später auf möglichst viele mathematisch denkbare Objekte anwenden zu können. Daher wollen wir zunächst nur auf grundlegende Begriffe zurückgreifen, wie sie in der Mengenlehre, den daraus konstruierbaren reellen Zahlen sowie den daraus konstruierbaren Abbildungen und Funktionen vorkommen (siehe Die Grenzen der Berechenbarkeit Kapitel 4: Die Fundamente der Mathematik ).

Wir beginnen also mit irgendeiner Menge (nennen wir sie M) von Objekten, wobei wir (noch) keine weiteren Voraussetzungen über die Struktur dieser Menge machen wollen. Die Menge darf dabei auch unendlich viele Objekte enthalten. Die Objekte werden wir im Folgenden auch oft als Punkte bezeichnen -- dies ist zunächst einfach nur ein anderes Wort für Objekt. Ein Punkt muss daher später nicht unbedingt im anschaulichen Sinn ein Punkt sein, sondern es könnte auch ein anderes mathematisches Objekt (z.B. eine Funktion) sein. Analog werden wir die Menge auch als Raum bezeichnen, was ebenfalls zunächst nur ein anderes Wort ist und nichts mit dem anschaulichen Raumbegriff zu tun haben muss. So darf der Raum in der Quantenmechanik beispielsweise auch ein unendlichdimensionaler Hilbertraum sein.

Um eine Art von Geometrie in diesem Raum betreiben zu können, müssen wir nun schrittweise die Möglichkeit fordern, weiterer Strukturen auf dem Raum definieren zu können. Nicht jede Menge von Objekten eignet sich also dazu, mit ihr Geometrie zu betreiben.

Als erstes wollen wir fordern, dass auf dem Raum eine Topologie definiert werden kann. Das entspricht der anschaulichen Vorstellung, dass wir von Zusammenhängen und Beziehungen zwischen den Punkten des Raums reden wollen, beispielsweise von der Umgebung eines Punktes. Wir wollen von Stetigkeit (engl.: continuity) reden können, ohne gleich Begriffe wie Abstand oder Differenzierbarkeit (Glattheit) einführen zu müssen -- das kommt dann später. Die mathematische Begriffsbildung, die solche Vorstellungen konkretisiert, ist folgende:

Um über Zusammenhänge zwischen Punkten sprechen zu können, müssen sich Mengen definieren lassen, die diese Zusammenhänge darstellen und die die Punkte entsprechend zusammenfassen. Wir brauchen also Teilmengen des Raumes M. Dabei wollen wir aber nicht beliebige Teilmengen zulassen, sondern die Ansammlung aller Teilmengen, die unsere topologische Struktur definiert, soll bestimmte Eigenschaften haben. Nennen wir diese Teilmengen-Ansammlung T (für Topologie) -- mathematisch ist T eine Teilmenge der Potenzmenge unseres Raums M. Dann sollen T die folgenden Eigenschaften haben:

Warum fordert man diese Bedingungen? Sie erlauben es, Objekte in Teilmengen aus T einzuordnen, aber auch diese Einordnungen zu kombinieren und dafür wieder passende Mengen in T vorzufinden. Wie weit der Topologiebegriff trägt, ist an dieser Stelle noch schwer abzuschätzen. Zumindest ist klar, dass die obigen Forderungen sehr allgemein sind, so dass sie sich praktisch in jedem Raum umsetzen lassen. Es sollte immer möglich sein, auf einer Menge eine Topologie zu definieren, also ein System von Teilmengen mit den obigen Eigenschaften aufzustellen. Meist sind sogar verschiedene Topologien auf einem Raum möglich.

Und nun kommen zwei ganz zentrale topologische Begriffe:

Eine offene Menge gehört also zu T, eine abgeschlossene Menge dagegen nicht. Aber: Es gibt auch Mengen, die weder offen noch abgeschlossen sind. Diese Mengen gehören nicht zu T, sind aber auch nicht das Komplement einer Menge aus T.

Die Begriffe offen und abgeschlossen beziehen sich immer auf eine gegebene Topologie des Raums. Dasselbe gilt für den folgenden Begriff:

In wieweit dieser sehr allgemeine Umgebungsbegriff unseren anschaulichen Begriff von der Umgebung eines Punktes in einem Raum wiederspiegelt, müssen wir noch sehen. Das wird sicher von dem betrachteten Raum und der darauf definierten Topologie abhängen. Es mag dabei sicher auch Fälle geben, in denen dieser Umgebungsbegriff ganz andere Anwendungen erlaubt, als wir zunächst vorgesehen haben.

Betrachten wir einige Beispiele, um ein Gefühl für diese Begriffe zu bekommen:

Man könnte diese Liste noch sehr viel weiter fortsetzen und so eine komplette Klassifikation der topologischen Räume aufstellen. Das würde jedoch hier zu weit führen -- wir werden die entsprechenden Begriffe lieber dann erklären, wenn sie benötigt werden.

Ein Hauptzweck für die Einführung einer topologischen Struktur besteht darin, den Begriff der Stetigkeit definieren zu können:

Ein Beispiel: Für M1 = M2 = R mit der üblichen Intervall-Topologie (gegeben durch B(p,r), siehe etwas weiter oben) erhält man so die übliche ε-δ-Definition der Stetigkeit (den Beweis überspringen wir hier). Die Definition der Stetigkeit über offene Mengen hat aber den Vorteil, dass man keine Abstandsfunktion voraussetzen muss. Eine Topologie genügt bereits.


Literatur zu dem Thema:


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last modified on 09 June 2004