Kapitel 5
Die allgemeine Relativitätstheorie

1   Gekrümmte Räume (über die Grundlagen der Differentialgeometrie)

4   Tangentialräume und Vektorfelder

Im n-dimensionalen reellen Raum kann man sogenannte Vektorfelder definieren. Jedem Punkt p ist dabei ein n-dimensionaler Vektor v(p) zugeordnet, der in eine Richtung im Raum zeigt. Solche Vektorfelder benötigt man in der Physik beispielsweise dazu, um Kraftfelder darzustellen. Wenn wir nun Physik in gekrümmten Räumen betreiben wollen, werden wir darin ein Analogon zu diesen Vektorfeldern brauchen. Wir benötigen also mathematische Objekte in Mannigfaltigkeiten, die an jedem Punkt p in eine Richtung der Mannigfaltigkeit zeigen, und die zudem noch wie ein Vektor einen bestimmten Betrag besitzen.

Um ein Gefühl dafür zu bekommen, was für mathematische Objekte wir brauchen, lassen wir uns zunächst von unserer Anschauung für zweidimensionale gekrümmte Flächen leiten, die wir uns im dreidimensionalen euklidischen Raum eingebettet vorstellen. Betrachten wir konkret eine Kugeloberfläche, die ja eine zweidimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit ist. Als Beispiel können wir die Erdoberfläche nehmen.

Auf der Erdoberfläche kennt man seit langer Zeit Richtungsangaben, die eine Richtung auf dieser Fläche kennzeichnen: Norden, Süden, Osten, Westen. Die Angaben oben und unten dagegen liefern keine Richtungen auf der Erdoberfläche, sondern sie zeigen aus der Fläche in den dreidimensionalen Einbettungsraum hinaus. Wir lassen also nur solche Richtungen gelten, wie sie ein Schiff zur Navigation auf der Fläche benötigt.

An jedem Punkt p der Erdoberfläche können wir uns nun eine flache zweidimensionale Ebene angeheftet vorstellen, die die Erdoberfläche an diesem Punkt p berührt. Man spricht von dem Tangentialraum T(p) am Punkt p. Der Tangentialraum T(p) kennzeichnet die Richtungen (dargestellt durch Pfeile), die man am Punkt p definieren kann (hinzu kommt noch ein Betrag, also eine Pfeillänge). Anders ausgedrückt: Der Tangentialraum ist der Raum der Geschwindigkeitsvektoren, mit denen man den Punkt p auf der Fläche durchlaufen kann. Da der Tangentialraum T(p) bei der Kugeloberfläche bei jedem p ein zweidimensionaler reeller Raum ist, können wir zweikomponentige Vektoren in diesem Raum definieren. In unserem dreidimensionalen Bild beginnen diese Vektoren im Punkt p der Kugeloberfläche und zeigen dort tangential in alle möglichen Richtungen des Tangentialraums. Beispielsweise kann man einen solchen Vektor nach Westen zeigen lassen, ganz analog zu einer Kompassnadel.

Mathematisch lassen sich die Tangentialvektoren am Punkt p als Ableitungen von Kurven darstellen, analog zu Geschwindigkeitsvektoren. Beispielsweise liefert der Geschwindigkeitsvektor eines Schiffes, das nach Westen fährt, einen solchen Tangentialvektor in Richtung Westen. Machen wir es konkret:

  • Tangentialvektoren zweidimensionaler Flächen, eingebettet im dreidimensionalen Raum:

    Wir betrachten eine differenzierbare Kurve γ(t) mit reellem Parameter t auf einer zweidimensionalen Fläche (d.h. γ(t) ist für jedes t ein Punkt auf der Fläche). Den Punkt, durch den die Kurve bei   t = 0   geht, nennen wir p, d.h. p = γ(0) . Dann ist der Vektor   dγ(t)/dt |t = 0   ein Tangentialvektor im Punkt p, also ein Element des Tangentialraums T(p). Wir schreiben im Folgenden kurz

      dγ(t)/dt |t = 0   =:   γ'(0)

    Umgekehrt gibt es für jeden Tangentialvektor v(p) aus T(p) auch eine solche Kurve, so dass

      v(p)   =   γ'(0)  

    gilt. Es gibt sogar unendlich viele solcher Kurven (sie müssen nur in t = 0 dieselbe Ableitung haben).


Beispiel für einen Tangentialvektor   v   bei einer zweidimensionalen Mannigfaltigkeit M, die im dreidimensionalen Raum eingebettet ist. Der Tangentialraum T(p) (im Bild TxM genannt) ist hier eine zweidimensionale Ebene, die M im Punkt p (im Bild x genannt) tangential berührt. Für jede differenzierbare Kurve γ(t) mit   γ(0) = p   ist der Ableitungsvektor γ'(0) ein Vektor in dieser Fläche, und umgekehrt lässt sich jeder Vektor in T(p) als γ'(0) einer entsprechenden Kurve schreiben. Bildquelle: Wikipedia


Bei dieser Kennzeichnung von Tangentialvektoren machen wir Gebrauch von der Einbettung der Fläche in den dreidimensionalen reellen Raum, denn nur dort ist   γ'(0)   überhaupt definiert. Auch wenn dieser Vektor tangential zur Fläche liegt, so ist er dennoch ein Vektor im dreidimensionalen Raum und als solcher über die Ableitung einer Kurve in diesem Raum definiert. Die Definition der Ableitung macht das deutlich:

  γ'(0)   =   limt → 0   ( γ(t) - γ(0) ) / t  

Die Differenz   γ(t) - γ(0)   ist für die beiden Punkte γ(t) und γ(0) auf einer Mannigfaltigkeit zunächst gar nicht definiert. Deshalb kann man auch die Ableitung einer Kurve auf der Mannigfaltigkeit nicht unmittelbar definieren. Hat man jedoch eine Einbettung im Rn , so sind γ(t) und γ(0) Punkte (Vektoren) im Rn und die Differenz ist ein n-dimensionaler Vektor.

Nun möchte man aber nicht unbedingt auf die Einbettung einer Mannigfaltigkeit in einen höherdimensionalen reellen Raum zurückgreifen, um Tangentialvektoren auf dieser Mannigfaltigkeit zu definieren. Die Frage ist also:

Dabei soll es natürlich möglich sein, aus diesen Objekten die oben definierten eingebetteten Tangentialvektoren eindeutig rekonstruieren zu können, sobald man über eine Einbettung der Mannigfaltigkeit verfügt. Außerdem sollen diese Objekte wie die Tangentialvektoren für jedes p einen Vektorraum bilden, d.h. man soll sie addieren und mit reellen Zahlen multiplizieren können.

Es gibt mehrere gleichwertige Möglichkeiten, Objekte zu finden, die äquivalent zu den Tangentialvektoren sind:


Tangentialvektoren als Äquivalenzklassen von Kurven:

Eine Möglichkeit besteht darin, einfach statt einer Kurven-Ableitung die Kurven selbst zu nehmen, und zwar alle die Kurven, die einen Punkt p in derselben Richtung mit derselben Geschwindigkeit durchlaufen. Dass sie genau das tun, verifiziert man über Koordinatensysteme, die in einer Umgebung von p definiert sind. Nehmen wir beispielsweise eine Kurve γ(t) , die bei   t = 0   durch p läuft (also   γ(0) = p ). In einer Umgebung von p haben wir nun ein Koordinatensystem, das wir wie oben durch eine Funktion f darstellen, d.h. f(γ(t)) liefert für jedes t die reellen Koordinaten des Punktes γ(t) , und insgesamt ist f(γ(t)) eine Kurve im Rn.

Wir definieren nun:

  • Alle Kurven γ(t) mit   γ(0) = p , bei denen   df(γ(t))/dt |t=0   denselben Wert hat, bezeichnen wir als zueinander tangential in p.

Dabei verwenden wir, dass   df(γ(t))/dt |t=0   auch ohne Einbettung wohldefiniert ist, denn f(γ(t)) ist eine Kurve im Rn. Dagegen ist   γ'(0)   nur wohldefiniert, wenn die Mannigfaltigkeit in einem höherdimensionalen reellen euklidischen Raum eingebettet ist -- siehe oben.

Wir können nun jeweils alle Kurven, die in p zueinander tangential sind, zu einer Menge (Äquivalenzklasse) zusammenfassen -- nennen wir diese Menge [γ]p. Im Grunde stellt eine solche Äquivalenzklasse eine Richtung auf der Mannigfaltigkeit dar, in der man den Punkt p durchlaufen kann.

Jede dieser Äquivalenzklassen ist eindeutig durch einen Vektor   df(γ(t))/dt |t=0   gekennzeichnet, denn die Kurven in einer Äquivalenzklasse sind ja tangential zueinander (dabei ist γ(t) einfach eine beliebige Kurve (ein Repräsentant) aus der Äquivalenzklasse). Wir können also jede dieser Klassen eindeutig mit einem Vektor im Koordinatenraum Rn verbinden und eine entsprechende bijektive Abbildung Df definieren:

  Df([γ]p)   :=   df(γ(t))/dt |t=0

Jede der Äquivalenzklassen enthält dieselben Informationen wie ein über Einbettung definierter Tangentialvektor. Entsprechend bilden die Äquivalenzklassen ein Vektorraum, denn mit Hilfe der inversen Abbildung Df −1 können wir die Addition und Skalar-Multiplikation auf den Klassen definieren:

  [γ1]p + [γ2]p   :=   Df −1 ( df(γ1(t))/dt |t=0 + df(γ2(t))/dt |t=0 )
  c [γ]p   :=   Df −1 ( c df(γ(t))/dt |t=0 )

Natürlich muss man noch nachweisen, dass diese Definitionen unabhängig von der Koordinatenfunktion f sind -- wir verzichten hier darauf.

Insgesamt ist es uns dadurch gelungen, zu jedem p einen Vektorraum von Äquivalenzklassen zueinander tangentialer Kurven zu konstruieren, der sich eins-zu-eins zum Tangentialraum verhält, den wir oben durch Einbettung definiert haben. Man bezeichnet daher auch den Vektorraum der Äquivalenzklassen direkt als Tangentialraum der Mannigfaltigkeit am Punkt p. Bei der Definition sind wir dabei ohne eine Einbettung ausgekommen -- lediglich die Koordinatenfunktion f für eine Umgebung von p wurde benötigt.


Tangentialvektoren als Richtungsableitungen:

Der Umgang mit den obigen Äquivalenzklassen ist oft etwas umständlich. Es gibt jedoch (unter anderem) eine weitere gleichwertige Möglichkeit, Tangentialvektor-artige Objekte ohne Einbettung zu konstruieren: die Richtungsableitungen.

Um mit Richtungsableitungen arbeiten zu können, benötigen wir zunächst eine Größe, die abgeleitet werden kann. Die einfachste Möglichkeit ist eine skalare reelle Funktion, also eine Abbildung Φ, die jedem Punkt p der Mannigfaltigkeit genau eine reelle Zahl zuordnet. Dabei brauchen wir nicht unbedingt auf irgendwelche Koordinaten zurückzugreifen, denn man kann auf praktisch allen Mengen eine solche Abbildung definieren. In der Physik hat Φ oft die Bedeutung eines skalaren Potentials.

Schauen wir uns konkret wieder zweidimensionale Flächen an, die im dreidimensionalen Raum eingebettet sind. In diesem dreidimensionalen Raum soll eine skalare differenzierbare Funktion Φ definiert sein. Über die Einbettung ist Φ damit gleichzeitig auch auf der zweidimensionalen Fläche definiert.

Bei einer Einbettung ist die Richtungsableitung der Funktion Φ am Ort p in Richtung eines Tangentialvektors a definiert als

  dΦ(p + t a) / dt |t = 0

d.h. die Richtungsableitung misst die Veränderung von Φ am Ort p in a-Richtung. Wichtig ist, dass (am Ort p) jedem Richtungsvektor a eindeutig eine Richtungsableitung zugeordnet ist und umgekehrt.

Da der Richtungsvektor a ein Element des Tangentialraums am Ort p der Fläche ist, gibt eine Kurve γ(t) auf der Fläche, so dass   γ(0) = p   und   γ'(0) = a   ist. Die Richtungsableitung von Φ in Richtung dieser Kurve am Ort p ist dann gegeben durch

  dΦ(γ(0) + t γ'(0)) / dt |t = 0   =   dΦ(γ(t)) / dt |t = 0

Das Gleichheitszeichen beruht darauf, dass nach der Kettenregel beide Seiten zum gleichen Ergebnis führen. Auf diese Weise ist dem Tangentialvektor γ'(0) eindeutig eine Richtungsableitung zugeordnet und umgekehrt.

Wie können wir dieses Ergebnis verwenden, um den Fall ohne Einbettung zu erfassen? In diesem Fall ist γ'(0) ja nicht definiert. Der Ausdruck   dΦ(γ(t)) / dt |t = 0   auf der rechten Seite ermöglicht es uns aber nun, bei der Richtungsableitung auch ohne γ'(0) auszukommen. Insbesondere ist dieser Ausdruck auch ohne Einbettung definiert, denn Φ(γ(t)) ist eine Funktion von R nach R. Wir können daher die so definierten Richtungsableitungen im Punkt p als gleichwertige Ersatzobjekte für die Tangentialvektoren verwenden. Im Fall der Einbettung können wir dann über die Gleichung   dΦ(γ(0) + t γ'(0)) / dt |t = 0   =   dΦ(γ(t)) / dt |t = 0   jederzeit den Tangentialvektor γ'(0) zurückgewinnen.

Da ohne Einbettung der Ausdruck γ'(0) nicht definiert ist, wollen wir statt dessen den dazu gleichwertigen Richtungsableitungsoperator u(p) als Tangentialvektor bezeichnen. Dabei ist u(p) folgendermaßen definiert:

  u(p) Φ   := dΦ(γ(t)) / dt |t = 0

d.h.   u(p) Φ   ist die Richtungsableitung von Φ im Punkt p in Richtung einer Kurve γ(t) -- das ist eine reelle Zahl. Daher ist u(p) eine Abbildung, die die skalare Funktion Φ auf eine reelle Zahl abbildet. Anschaulich kann man sich (ggf. unter Zuhilfenahme einer Einbettung) u(p) als kleinen tangentialen Pfeil vorstellen, der auf skalaren Funktionen operiert, indem er deren Änderung in die Kurvenrichtung berechnet, in die er zeigt. In einem englischen Text habe ich die folgende elegante Formulierung gefunden (siehe Dan Piponi: On the Visualisation of Differential Forms, http://homepage.mac.com/sigfpe/Mathematics/forms.pdf )

Man kann sogar noch abstrakter definieren, dass ein Tangentialvektor u(p) einfach nur eine lineare Abbildung ist, die jeder skalaren Fuktion Φ (die in einer Umgebung von p definiert ist) eine reelle Zahl zuordnet, und die zusätzlich die Leibniz'sche Produktregel erfüllt:

  u(p) (Φ1 Φ2)   =   [u(p) Φ1] Φ2(p)   +   Φ1(p) [u(p) Φ2]

(dabei ist   (Φ1 Φ2)(p) := Φ1(p) Φ2(p)   ). Diese Regel reicht aus, um den Ableitungscharakter von u(p) sicherzustellen (wie man beweisen kann).

Wie erhält man nun eine Vektorraumstruktur auf den Tangentialvektoren am Ort p? Wir definieren einfach

  (u(p) + v(p)) Φ   :=   u(p) Φ + v(p) Φ
  (c u(p)) Φ           :=   c (u(p) Φ)

(mit der reellen Zahl c). Die Summe zweier Richtungsableitungen, ausgewertet auf einer skalaren Funktion Φ ist also einfach definiert durch die Summe der auf Φ ausgewerteten Richtungsableitungen.

Die obige Definition für Tangentialvektoren über Richtungsableitungen bezieht sich immer auf einen konkreten Punkt p der Mannigfaltigkeit. Anschaulich schmiegt sich ja der entsprechende Tangentialraum in diesem Punkt an die Mannigfaltigkeit an. In der Physik benötigt man jedoch auch den Begriff des Vektorfeldes, das für jeden Punkt p eine Vektor ergibt. Analog machen wir es hier: Ein Vektorfeld u ist einfach eine Abbildung, die an jedem Punkt p einen Tangentialvektor u(p) im entsprechenden Tangentialraum ergibt. Wir haben dies oben mit der Schreibweise   u(p)   bereits vorweggenommen.

Man kann nun die Koordinaten (mit Koordinatenfunktion f) in einer Umgebung eines Punktes p der Mannigfaltigkeit dazu verwenden, eine koordinatenabhängige Basis im Tangentialraum einzuführen. Starten wir dazu mit

  u(p) Φ   =   (D(γ'(0)) Φ)(p)   =   dΦ(γ(t)) / dt |t = 0   =  

... wir schieben sie Identität   f -1 ο f   ein, d.h. wir gehen zu einer konkreten Darstellung mit Hilfe von Koordinaten über:

  =   d (Φ ο f -1 ο f ο γ) (t) / dt |t = 0   =  

... in diesem Ausdruck ist   f ο γ   eine Funktion von R (der Raum des Kurvenparameters t) in den Koordinatenraum Rn , d.h. die Funktion   f ο γ   ist die Koordinatendarstellung der Kurve. Analog ist   Φ ο f -1   eine Funktion vom Koordinatenraum Rn nach R (dem Bildraum der skalaren Funktion Φ ), d.h. es handelt sich um die Koordinatendarstellung der Funktion Φ. Man kann den obigen Ausdruck als eine Verkettung dieser beiden Funktionen ansehen und einfach die bekannte Kettenregel für solche Funktionen anwenden. Dabei bezeichnet die Ableitung d/dxμ die Ableitung nach der μ-ten Koordinate, wobei wir den Index oben schreiben (wie das im Rahmen der Relativitätstheorie üblich ist). Nicht mit Exponenten verwechseln! Der Index μ läuft in der Summe von 1 bis n. Ergebnis:

  =   ∑μ   [d(Φ ο f -1) / dxμ (f(p))]   [d(f ο γ)μ(t) / dt |t = 0]   =  

... der zweiten Term   d(f ο γ)μ(t) / dt |t = 0   ist für jedes μ eine reelle Zahl, die wir mit uμ(p) abkürzen. Dies sind gleichsam die Komponenten von u(p) in der Basis, die durch die lokalen Koordinaten erzeugt wird. Den ersten Term schreiben wir wie folgt um:
  d(Φ ο f -1) / dxμ (f(p))   =:   d/dxμ|p Φ
Dies definiert den Operator d/dxμ|p auf der rechten Seite, für den wir hier keine neue Bezeichnung einführen, um nicht zu viele Bezeichnungen verwenden zu müssen. Anschaulich ist d/dxμ|p eine Richtungsableitung im Punkt p in Richtung wachsender Koordinate xμ. Insgesamt haben wir dann:

  =   ∑μ   (d/dxμ|p Φ)   uμ(p)   =   ∑μ   uμ(p)   (d/dxμ|p Φ)

Halten wir fest:

  • Wir können jeden Tangentialvektor u(p), der aufgrund einer Kurve γ(t) mit   γ(0) = p   im Tangentialraum bei p definiert ist, mit Hilfe einer Koordinatenabbildung f schreiben als

      u(p)   =   ∑μ   uμ(p) d/dxμ|p

    Dabei ist

    uμ(p)         =   d(f ο γ)μ(t) / dt |t = 0   =   df μ(γ(t)) / dt |t = 0   =   u(p) f μ      und
    d/dxμ|p Φ   =   d(Φ ο f -1) / dxμ (f(p))   =   dΦ(x) / dxμ |x = f(p)

Die Formeln sehen wegen der notwendigen Umrechnung in Koordinaten durch die Funktion f etwas kompliziert aus, bedeuten jedoch etwas sehr Einfaches, denn   (f ο γ)μ(t)   sind einfach die n Koordinaten des Kurvenpunktes γ(t), und   Φ ο f -1   ist einfach die skalare Funktion Φ, bei der man statt p die Koordinaten dieses Punktes als Input liefern muss. Also ist   uμ(p)   einfach die Änderungsrate der μ-ten Koordinate der Kurve in p, und   d/dxμ|p Φ   ist die Änderungsrate (Richtungsableitung) der Funktion Φ in μ-Koordinatenrichtung im Punkt p. Manchmal schreibt man auch etwas nachlässig (aber intuitiv)

  uμ(p)   =   [γ'(0)]μ     und
  d/dxμ|p Φ   =   dΦ(x) / dxμ .

Die Vektoren zeigen   d/dxμ|p   zeigen bei einer Einbettung anschaulich in die Richtung, in der die jeweilige Koordinate xμ anwächst und alle anderen Koordinaten konstant sind.

Für Vektorfelder u in Bereichen der Mannigfaltigkeit, für die die Koordinatenfunktion f definiert ist, schreiben wir analog

  u   =   ∑μ   uμ d/dxμ     mit     u(p)   =   ∑μ   uμ(p) d/dxμ|p  

Unsere Definition von Tangentialvektoren als Richtungsableitungen ist unabhängig von einer Koordinatenfunktion f gewesen. Die Basisdarstellung   u   =   ∑μ  uμ(p) d/dxμ   hängt jedoch von dem gewählten Koordinatensystem ab. Wie verändert sich diese Darstellung, wenn wir anstatt einer Koordinatenfunktion f eine andere Koordinatenfunktion g verwenden? Ein physikalisches Beispiel für einen solchen Koordinatenwechsel ist ein Bezugssystemwechsel im Rahmen der Relativitätstheorie.

Die Rechnung dazu ist recht einfach:

  uμ(p)   =   d(f ο γ)μ(t) / dt |t = 0   =  
  =   d(f ο g -1 ο g ο γ)μ(t) / dt |t = 0   =  
  =   ∑ν   [d(f ο g -1)μ / dyν (g(p))]   [d(g ο γ)ν(t) / dt |t = 0   =  
  =:   ∑ν   [d(f ο g -1)μ / dyν (g(p))]   vν(p)

Dabei sind vν(p) die Komponenten der Kurvenableitung in den neuen Koordinaten, und   [d(f ο g -1)μ / dyν (g(p))]   ist die Jacobimatrix der Koordinatenumrechnungsfunktion   f ο g -1   bei g(p). Analog kann man die Basis d/dxμ umrechnen. Bezeichnet man die f-Koordinaten mit x und die g-Koordinaten mit y (d.h.   (f ο g -1)(y)   =   x  ), so schreibt man auch gerne in Kurzform

Komponenten uμ(p) , die sich so transformieren, bezeichnet man auch als kontravariant. Die Schreibweise mit dem Index oben soll dieses Transformationsverhalten kennzeichnen.

In der älteren physikalischen und mathematischen Literatur findet man häufig die Aussage:

Damit ist tatsächlich das Wesentliche gesagt. Etwas unbehaglich fühlt man sich nur, weil das abstrakte Objekt nicht recht greifbar ist. Wir haben jedoch zwei gleichwertige Kandidaten dafür kennengelernt: die Kurven-Äquivalenzklasse [γ]p oder alternativ dazu die Abbildung u(p), die skalaren Funktionen Φ die Richtungsableitung in p in γ-Richtung zuordnet. Verfügt man über eine Einbettung der Mannigfaltigkeit im Rn, so kann man auch den klassischen n-dimensionalen Tangentialvektor γ'(0) direkt als Objekt nehmen.


Zum Abschluss des Kapitels wollen wir uns noch ansehen, wie bei einer Einbettung die Koordinaten-Basisdarstellung des Tangentialvektors γ'(0) aussieht. Wir können die Rechnung von oben, die zu

  u(p) Φ   =   =   dΦ(γ(t)) / dt |t = 0   =   ∑μ   [d(Φ ο f -1) / dxμ (f(p))]   uμ(p)

geführt hat, einfach wiederholen, wobei wir aber Φ aufgrund der Einbettung weglassen können. Außerdem schreiben wir f(p) = x . Es ergibt sich

  γ'(0)   =   ∑μ   [d(f -1) / dxμ (x)]   uμ(p)

Wir wollen noch f -1 in X umbenennen, d.h.   f -1(x) = X(x)  . Dabei stellen wir uns X(x) als m-dimensionalen Vektor im Einbettungsraum Rm vor, der Ortsvektor zum Punkt p der Mannigfaltigkeit ist. Insgesamt liefert X(x) eine Parametrisierung der Mannigfaltigkeit als Unterraum des Rm mit den n Parametern x . Das Ergebnis nach der Umbenennung (sowie nach einer Vertauschung der Terme) lautet:

  γ'(0)   =   ∑μ   uμ(p) dX(x)/dxμ

Dabei ist   dX(x)/dxμ   ganz anschaulich ein Tangentialvektor in xμ-Koordinatenrichtung. Die obige Schreibweise zeigt weiter, was wir beim Übergang vom Tangentialvektor γ'(0) im Einbettungsraum zur Abbildung u(p) in der einbettungsfreien Formulierung tun müssen: Wir müssen im Wesentlichen formal den Vektor X(x) weglassen, also   dX(x)/dxμ   durch   d/dxμ|p   ersetzen. Statt Tangentialvektoren im Einbettungsraum werden in der einbettungsfreien Formulierung eben Richtungsableitungen als gleichwertiger Ersatz für Tangentialvektoren verwendet (und mit diesen gleichgesetzt).


Literatur zu dem Thema:


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last modified on 13 December 2008