Kapitel 5
Die allgemeine Relativitätstheorie

1   Gekrümmte Räume (über die Grundlagen der Differentialgeometrie)

7   Torsion

Im letzten Kapitel haben wir den Begriff der kovarianten Ableitung und den dazu gleichwertigen Begriff der Parallelverschiebung kennengelernt. Diese Begriffe ermöglichen es uns, affine Geometrie auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten zu betreiben. Als ein Beispiel haben wir die geodätische Linie kennengelernt.

Es gibt jedoch weitere Möglichkeiten, die kovariante Ableitung und die Parallelverschiebung dazu zu nutzen, neue geometrische Begriffe wie Krümmung und Torsion zu formulieren. In diesem Kapitel werden wir uns zunächst mit der Torsion beschäftigen. Die Krümmung folgt dann im nächsten Kapitel. Der Begriff der Metrik wird weiterhin nicht benötigt -- der affine Zusammenhang (d.h. die kovariante Ableitung und die zugehörige Parallelverschiebung) genügt. Daher müssen wir vorsichtig sein, wenn wir uns die Begriffe veranschaulichen wollen -- bei einer Einbettung ist im Hintergrund immer eine Metrik mit im Spiel.

Bisher haben wir bei der kovarianten Ableitung und der Parallelverschiebung die Mannigfaltigkeit immer nur in einer bestimmten Richtung untersucht. Wir haben uns beispielsweise die Veränderung von Tangentialvektoren in Richtung eines anderen Tangentialvektors angesehen.

Nun wollen wir einen Schritt weiter gehen und Richtungswechsel mit einbeziehen. Dabei werden zweite Ableitungen auftreten, d.h. wir werden uns für die Veränderung von Veränderungen interessieren, was physikalisch gesehen etwas mit Beschleunigungen zu tun haben wird. Anschaulich hat eine Beschleunigung ja etwas mit der Krümmung einer Bahnkurve zu tun -- es wundert daher nicht, dass uns der Krümmungsbegriff über den Weg laufen wird. Dabei kann die Angelegenheit allerdings aufgrund der möglichen Richtungswechsel kompliziert werden. Wir können beispielsweise fragen: Wie ändert sich in v-Richtung eine Richtungsableitung in u-Richtung? Und wie verhält sich dies im Vergleich zu der Änderung in u-Richtung der Richtungsableitung in v-Richtung (also genau umgekehrt)?


Infinitesimale Parallelogramme:

Um das Thema systematisch zu untersuchen, wollen wir ein infinitesimales Parallelogramm konstruieren. Dazu starten wir in einem Punkt p0 mit zwei Tangentialvektorfeldern u(p0) und v(p0), die die Seiten unseres Parallelogramms definieren sollen. Wir wählen nun zu dem Tangentialvektor u(p0) eine geodätische Kurve γ0(t) so, dass u(p0) Tangentialvektor zur Kurve in t = 0 ist. Analog wählen wir eine geodätische Kurve ρ0(t') zum Tangentialvektor v(p0). Für die Wirkung der Tangentialvektoren auf eine skalare Funktion Φ gilt dann:

  u(p0) Φ   =   dΦ(γ0(t)) / dt |t = 0
  v(p0) Φ   =   dΦ(ρ0(t')) / dt' |t' = 0

mit   p0 = γ0(0) = ρ0(0) .

Wir laufen nun von p0 ein kleines Stück ε entlang der Kurve γ0 in t-Richtung und paralleltransportieren die Tangentialvektoren mit. Den entsprechenden Punkt nennen wir   p1 = γ0(ε)   (siehe das Bild weiter unten). Da   Φ(p1)   =   Φ(γ0(ε))   eine Funktion von R nach R ist, können wir diese für kleine ε in eine Taylorreihe entwickeln. Dabei wollen wir bis zu quadratischen Termen gehen und alle weiteren Terme weglassen:

  Φ(p1)   =   Φ(p0)   +   dΦ(γ0(t)) / dt |t = 0 ε   +   1/2 d2Φ(γ0(t)) / dt2 |t = 0 ε2   +   ...

Die erste Ableitung können wir schreiben als   dΦ(γ0(t)) / dt |t = 0   =   u(p0) Φ  . Wie aber sieht es mit der zweiten Ableitung aus? Nehmen wir sie schrittweise auseinander (der Parameter t' hat hier nichts mit der Richtung zu tun, sondern er wird nur zur Unterscheidung von t so genannt):

  d2Φ(γ0(t)) / dt2 |t = 0   =  
  =   d/dt |t = 0   d/dt' |t' = t   Φ(γ0(t'))   =  
  =   d/dt |t = 0   u(γ0(t)) Φ   =  
  =   u(p0) (u Φ)

Dabei ist   u Φ   eine reellwertige Funktion auf der Mannigfaltigkeit, die über   (u Φ)(p)   :=   u(p) Φ   definiert ist. Mit dieser Schreibweise erhalten wir dann:

  Φ(p1)   =   Φ(p0)   +   [u(p0) Φ] ε   +   1/2 [u(p0) (u Φ)] ε2   +   ...

Analog können wir von p0 ausgehend ein kleines Stück ε' entlang der anderen Kurve ρ0 in t'-Richtung laufen. Den entsprechenden Punkt nennen wir   p2 = ρ0(ε')  . Ergebnis:

  Φ(p2)   =   Φ(p0)   +   [v(p0) Φ] ε'   +   1/2 [v(p0) (v Φ)] (ε')2   +   ...

Nun kommt der zweite Schritt: Ausgehend vom Punkt p1 laufen wir nun ein Stück ε' in t'-Richtung, die durch den Vektor v(p1) und eine dazugehörige Kurve ρε(t') gegeben ist. Den neuen Punkt nennen wir p3, d.h. p3 = ρε(ε'). Dann ist

  Φ(p3)   =   Φ(p1)   +   [v(p1) Φ] ε'   +   1/2 [v(p1) (v Φ)] (ε')2   +   ...

Analog laufen wir ausgehend vom Punkt p2 ein Stück ε in t-Richtung, die durch den Vektor u(p2) und eine dazugehörige Kurve γε'(t) gegeben ist. Den neuen Punkt nennen wir p4, d.h. p4 = γε'(ε). Dann ist

  Φ(p4)   =   Φ(p2)   +   [u(p2) Φ] ε   +   1/2 [u(p2) (u Φ)] ε2   +   ...


Vom Punkt p0 aus laufen wir in u(p0)-Richtung ein Stück ε zum Punkt p1 und dann ein Stück ε' in v(p1)-Richtung zum Punkt p3.
Andererseits laufen wir in v(p0)-Richtung ein Stück ε' zum Punkt p2 und dann ein Stück ε in u(p2)-Richtung zum Punkt p4.
Die Punkte p3 und p4 sind nicht unbedingt identisch. Sind sie verschieden, so liegt Torsion vor,
was sich im Bild in einer Art Schraubenversetzung äußert -- mehr dazu weiter unten.


Wir interessieren uns nun für die Differenz   Φ(p4) − Φ(p3)  , wobei wir schrittweise die obigen Taylorreihen einsetzen werden. Ziel wird es sein, alle Terme auf den Punkt p0 zu beziehen und nur Terme bis zur zweiten Ordnung in den Parametern ε und ε' zu behalten. Hier sind die einzelnen Rechenschritte:

  Φ(p4) − Φ(p3)   =  
  =   Φ(p2)   +   [u(p2) Φ] ε   +   1/2 [u(p2) (u Φ)] ε2   +  
  −   Φ(p1)   −   [v(p1) Φ] ε'   −   1/2 [v(p1) (v Φ)] (ε')2   +   ...   =   ...

Für Φ(p2) und Φ(p1) können wir direkt die Taylorreihen einsetzen. Was aber ist beispielsweise mit   u(p2) Φ  , also mit der Richtungsableitung von Φ im Punkt p2 in u-Richtung? Man kann zeigen, dass wir aufgrund der Parallelität der Tangentialvektoren   u(p2)   und   u(p0)   sowie aufgrund der Taylorreihe
  Φ(p2)   =   Φ(p0)   +   [v(p0) Φ] ε'   +   ...  
bis zur ersten Ordnung schreiben dürfen:
  u(p2) Φ   =   u(p0) Φ   +   u(p0) [v Φ] ε'   +   ...  
und analog
  v(p1) Φ   =   v(p0) Φ   +   v(p0) [u Φ] ε   +   ...  
(d.h. Abweichungen davon treten erst eine Ordnung höher auf). Diese Formeln müsste man genau genommen noch strenger begründen, was in der Literatur jedoch oft nicht geschieht. Relativ sauber findet man dies in Matt Visser: Math 464: Notes on differential geometry (Victoria University of Wellington, New Zealand, 2004, http://www.mcs.vuw.ac.nz/courses/MATH464/2004T1/Lecture-Notes/notes.ps) sowie unter http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/relativity/node137.html . Die Begründung basiert darauf, dass wir die Tangentialvektoren entlang von Geodäten von Punkt zu Punkt parallelverschieben, so dass sich deren Änderung in der betrachteten Ordnung von ε und ε' nicht auswirkt. Die Punkte bilden ja die Ecken eines infinitesimalen Parallelogramms, bei dem die u-Richtungsvektoren bzw. die v-Richtungsvektoren in den Eckpunkten parallel (im Sinne der infinitesimalen Parallelverschiebung) zueinander sind. Wir wollen hier nicht genauer darauf eingehen, da die entsprechenden Rechnungen etwas langwierig sind. Setzen wir statt dessen unsere Formeln oben ein:

  =   Φ(p0)   +   [v(p0) Φ] ε'   +   1/2 [v(p0) (v Φ)] (ε')2   +  
  +   [u(p0) Φ   +   u(p0) [v Φ] ε'] ε   +  
  +   1/2 [u(p2) (u Φ)] ε2   +  
  −   {Φ(p0)   +   [u(p0) Φ] ε   +   1/2 [u(p0) (u Φ)] ε2}   +  
  −   [v(p0) Φ   +   v(p0) [u Φ] ε] ε'   +  
  −   1/2 [v(p1) (v Φ)] (ε')2   +   ...   =   ...

Hier fließt eine weitere Formel ein, die man mit Hilfe der Parallelität der Tangentialvektoren begründen kann: In nullter Ordnung ist   [u(p2) (u Φ)]   =   [u(p0) (u Φ)]   und analog   [v(p1) (v Φ)]   =   [v(p0) (v Φ)]  . Damit ergibt sich:

  =   Φ(p0)   +   [v(p0) Φ] ε'   +   1/2 [v(p0) (v Φ)] (ε')2   +  
  +   [u(p0) Φ] ε   +   u(p0) [v Φ] ε' ε   +  
  +   1/2 [u(p0) (u Φ)] ε2   +  
  −   Φ(p0)   −   [u(p0) Φ] ε   −   1/2 [u(p0) (u Φ)] ε2}   +  
  −   [v(p0) Φ] ε'   −   v(p0) [u Φ] ε ε'   +  
  −   1/2 [v(p0) (v Φ)] (ε')2   +   ...   =  
  =   u(p0) [v Φ] ε' ε   −   v(p0) [u Φ] ε ε'   +   ...

Man definiert nun die sogenannte Lie-Klammer:

so dass

  Φ(p4) − Φ(p3)   =   [u, v](p0) Φ   ε ε'   +   ...

ist. Um diesen Ausdruck besser zu verstehen, wollen wir die Lie-Klammer explizit in Koordinaten ausschreiben (wobei wir die Argumente und Koordinatenfunktionen teilweise weglassen -- Physiker-Kurzschreibweise!):

  [u, v](p) Φ   =   u(p) [v Φ]   −   v(p) [u Φ]   =  
  =   ∑μ   uμ d/dxμ   ∑ν   vν d/dxν   Φ   −   ∑μ   vμ d/dxμ   ∑ν   uν d/dxν   Φ   =  
  =   ∑μν   { uμ (dvν/dxμ) d/dxν   +   uμ vν d/dxμ d/dxν   −   vμ (duν/dxμ) d/dxν   −   vμ uν d/dxμ d/dxν }   Φ   =  
  =   ∑μν   { uμ (dvν/dxμ) d/dxν   −   vμ (duν/dxμ) d/dxν }   Φ

Dabei haben wir verwendet, dass die partiellen Ableitungen von Φ miteinander vertauschbar sind, so dass die entsprechenden Terme wegfallen. Insgesamt haben wir also (diesmal korrekt geschrieben, wobei wir   (duν/dxμ)   =   d/dxμ|p uν   =   d(uν ο f -1) / dxμ (f(p))   mit der Karte f   (siehe Kapitel 5.1.4 Tangentialräume und Vektorfelder ) schreiben):

  [u, v](p)   =  
  =   ∑μν   { uμ(p) (d/dxμ|p vν)   −   vμ(p) (d/dxμ|p uν) }   d/dxν|p   =  
  =   ∑ν   { (u(p) vν)   −   (v(p) uν) }   d/dxν|p

Schaut man sich das Verhalten bei Koordinatenwechseln an, so stellt man nach einer kurzen Rechnung (die wir hier überspringen) fest, dass die Koeffizienten   { (u(p) vν)   −   (v(p) uν) }   sich wie die Komponenten eines Tangentialvektors verhalten, d.h. die Lieklammer   [u, v](p)   ist ein Tangentialvektor in p. Fassen wir zusammen:

  • Lie-Klammer:
    Durch die Lie-Klammer

      [u, v](p) Φ   :=   u(p) [v Φ]   −   v(p) [u Φ]   =  
                  =   ∑ν   { (u(p) vν )   −   (v(p) uν ) }   d/dxν|p Φ

    wird den in einer Umgebung von p definierten Tangentialvektorfeldern u und v ein Tangentialvektor   [u, v](p)   zugeordnet. Dabei ist   [v Φ]   (und analog   [u Φ]  ) als skalare Funktion zu sehen, die einem Punkt p die reelle Zahl   [v(p) Φ]   zurordnet.

Wir werden uns die Lie-Klammer in einem späteren Kapitel im Zusammenhang mit der sogenannten Lie-Ableitung noch einmal genauer ansehen.

Zurück zu unserem Ergebnis   Φ(p4) − Φ(p3)   =   [u, v](p0) Φ   ε ε'   +   ...  . Dieses Ergebnis bedeutet, dass die Punkte p3 und p4 nicht identisch sind, denn die Werte von Φ sind an den beiden Punkten verschieden. Das infinitesimale Parallelogramm ist i.a. nicht geschlossen. Ursache dieser Lücke war, dass gemäß der Definition eines Parallelogramms die u-Tangentialvektoren bzw. die v-Tangentialvektoren in den Ecken parallel zueinander sind, was wir oben in der Rechnung (ohne genaue Begründung im Detail) berücksichtigt haben.

Achtung: Um   [u, v](p0)   zu berechnen, benötigen wir die Vektorfelder u und v in einer Umgebung von p0. Da wir von einem infinitesimalen Parallelogramm ausgegangen sind, gilt dabei für diese Vektorfelder   Du(p0) v   =   0   und analog   Du(p0) v   =   0  . Nur dann haben wir ein infinitesimales Parallelogramm vor uns, und nur dann ist die Lücke durch die Lie-Klammer gegeben. Dies muss man für die folgende Diskussion immer wieder beachten, sonst kommt es schnell zu Missverständnissen.


Torsion:

Man kann die Lücke im infinitesimalen Parallelogramm auch ganz konkret ausrechnen (siehe Matt Visser: Math 464: Notes on differential geometry, Victoria University of Wellington, New Zealand, 2004, http://www.mcs.vuw.ac.nz/courses/MATH464/2004T1/Lecture-Notes/notes.ps ). Dabei geht man wie oben vor, wobei man die Kurven γ0(t) usw. als geodätische Linien ansetzt und die Tangentialvektoren entlang dieser Linien paralleltransportiert (und so beispielsweise aus u(p0) dann u(p2) gewinnt, was wiederum die Kurve γε'(t) definiert usw.). Dies definiert unser Parallelogramm und liefert die Rechtfertigung unserer obigen halb-anschaulichen Argumentation. Als Ergebnis der Rechnung (die wir hier überspringen) erhält man für die Koordinaten der Punkte p3 und p4 die Formel

  f ρ(p4) − f ρ(p3)   =   ∑νμ   ( Γ ρνμ − Γ ρμν )   uμ(p0) vν(p0)   ε ε'   +   ...

Dabei ist f ρ die ρ-te Komponente der Koordinatenfunktion (Karte) f. Wir wollen im Folgenden die Abkürzung

  T ρνμ   :=     Γ ρνμ − Γ ρμν

verwenden, d.h.   T ρνμ   enthält den antisymmetrischen Anteil des affinen Zusammenhangs. Genau dieser antisymmetrische Anteil führt zur Lücke in den infinitesimalen Parallelogrammen. Zum Vergleich: In Kapitel 5.1.6 Kovariante Ableitung und Paralleltransport haben wir gesehen, dass der symmetrische Anteil die geodätischen Linien bestimmt. Wir werden   T ρνμ   im Folgenden als Torsion bezeichnen. Damit ist

  f ρ(p4) − f ρ(p3)   =   ∑νμ   T ρνμ   uμ(p0) vν(p0)   ε ε'   +   ...

Da   T ρνμ   die Christoffelsymbole   Γ ρνμ   des affinen Zusammenhangs enthält, lässt sich die Torsion sicher durch die kovariante Ableitung ausdrücken. Rechnen wir dazu den folgenden Term aus in der Hoffnung, daraus etwas über   T ρνμ   :=     Γ ρνμ − Γ ρμν ablesen zu können:

Du(p) v   −   Dv(p) u   =  

  =   ∑ρ   { u(p) vρ   +   ∑νμ   vμ(p)   Γ ρνμ   uν(p) }   d/dx ρ|p   +  
  −   ∑ρ   { v(p) uρ   +   ∑νμ   uμ(p)   Γ ρνμ   vν(p) }   d/dx ρ|p   =   ...

Umsortieren und in der zweiten Doppelsumme Indices umbenennen:

  =   ∑ρ   { u(p) vρ   −   v(p) uρ   +  
  +   ∑νμ   [ vμ(p)   Γ ρνμ   uν(p)   −   uν(p)   Γ ρμν   vμ(p) ] }   d/dx ρ|p   =  

  =   ∑ρ   { u(p) vρ   −   v(p) uρ } d/dx ρ|p   +  
  +   ∑ρ   ∑νμ   T ρνμ   uν(p) vμ(p)   d/dx ρ|p   =  

  =:   [u, v](p)   +   T(u(p), v(p))

oder anders geschrieben:

  • Torsion:

      T(u(p), v(p))   :=  

      =   ∑ρ   ∑νμ   T ρνμ   uν(p) vμ(p)   d/dx ρ|p   =  

      =   Du(p) v   −   Dv(p) u   −   [u, v](p)

Da   Du(p) v   sowie   Dv(p) u   und   [u, v](p)   Tangentialvektoren in p sind, ist auch   T(u(p), v(p))   ein Tangentialvektor in p. Weiter sieht man, dass   T(u(p), v(p))   antisymmetrisch in u(p) und v(p) ist. Und schließlich hängt   T(u(p), v(p))   wirklich nur von u und v im Punkt p ab, und nicht von den Werten von u und v in einer Umgebung von p, wie bereits unsere Ausgangsformel   T ρνμ   :=     Γ ρνμ − Γ ρμν   zeigt. Das ist auf den ersten Blick erstaunlich, denn die kovarianten Ableitungen   Du(p) v   und   Dv(p) u   und auch die Lie-Klammer   [u, v](p)   hängen sehr wohl von einer Umgebung von p ab. Die Kombination   Du(p) v   −   Dv(p) u   −   [u, v](p)   sorgt jedoch gerade dafür, dass die Richtungsableitungen der Vektorkomponenten wegfallen und nur die Christoffelsymbole übrig bleiben.

Wir können natürlich in der obigen Formel für   T(u(p), v(p))   auch die speziellen Vektoren   u(p) = d/dxν|p   und   v(p) = d/dxμ|p   einsetzen. Dann fällt die Lie-Klammer weg, da die partiellen Ableitungen nach den Koordinaten miteinander vertauschbar sind (man sagt, die Basisvektoren sind holonom), und wir erhalten

  T( d/dxν|p , d/dxμ|p )   =   Dν d/dxμ   −   Dμ d/dxν

was schließlich die Formel   T ρνμ   =     Γ ρνμ − Γ ρμν   reproduziert.

Kehren wir noch einmal zu unserem infinitesimalen Parallelogramm zurück. Wir hatten gesehen, dass die Lücke in diesem Parallelogramm gerade gleich

  Φ(p4) − Φ(p3)   =   [u, v](p0) Φ   ε ε'   +   ...

ist. Dabei war u ein paralleles Vektorfeld entlang der v(p)-Kurve und umgekehrt, d.h.   Dv(p) u   = 0   und   Du(p) v   = 0   und somit
  T(u(p), v(p))   =   Du(p) v   −   Dv(p) u   −   [u, v](p)   =   −   [u, v](p)
Wir können für die Lücke daher auch schreiben:

  Φ(p4) − Φ(p3)   =   − T(u(p0), v(p0)) Φ   ε ε'   +   ...

Andererseits hatten wir für die Koordinaten der beiden Punkte der Lücke die folgende Beziehung erhalten:

  f ρ(p4) − f ρ(p3)   =  
  =   ∑νμ   T ρνμ   uμ(p0) vν(p0)   ε ε'   +   ...   =  
  =   − T ρ(u(p0), v(p0))   ε ε'   +   ...

wobei   T ρ(u(p0), v(p0))   =   ∑νμ   T ρνμ   uν(p0) vμ(p0)   =   − ∑νμ   T ρνμ   uμ(p0) vν(p0)   die ρ-te Komponente des Tangentialvektors   T(u(p), v(p))   ist. Diese Formel lässt sich leicht aus dem Ausdruck für   Φ(p4) − Φ(p3)   ableiten, wenn wir einfach   Φ = f ρ   setzen und   d/dx ρ'|p f ρ   =   δ ρρ'   verwenden:

  f ρ(p4) − f ρ(p3)   =  
  =   − T(u(p0), v(p0)) f ρ   ε ε'   +   ...   =  
  =   − ∑ρ'   T ρ'(u(p0), v(p0))   d/dx ρ'|p f ρ   ε ε'   +   ...   =  
  =   − T ρ(u(p0), v(p0))   ε ε'   +   ...

Man sieht, wie alles konsistent zusammenpasst.

Noch eine Randbemerkung: Wir haben oben gerade verwendet, dass die kovarianten Ableitungen der Vektorfelder u und v verschwinden, da diese parallel entlang der Seiten des infinitesimalen Parallelogramms sein sollen (so ist ein infinitesimalen Parallelogramm gerade definiert). Man könnte nun meinen, dass dann gar keine Christoffelsymbole in dem Ausdruck   f ρ(p4) − f ρ(p3)   =   ∑νμ   ( Γ ρνμ − Γ ρμν )   uμ(p0) vν(p0)   ε ε'   +   ...   vorkommen dürften, denn wenn die kovariante Ableitung verschwindet, müssten doch auch die Christoffelsymbole verschwinden?! Das ist jedoch ein Trugschluss, denn   Dv(p) u   = 0   bedeutet ausgeschrieben
  Dv(p) u   =   ∑ρ   { v(p) uρ   +   ∑μ ν   uμ(p)   Γ ρνμ   vν(p) }   d/dx ρ|p   =   0
und somit   v(p) uρ   =   − ∑μ ν   uμ(p)   Γ ρνμ   vν(p)  . Die Christoffelsymbole verschwinden also keineswegs, sondern Richtungsableitungen lassen sich durch Christoffelsymbole ausdrücken. Daher lässt sich bei einem infinitesimalen Parallelogramm die Lie-Klammer durch antisymmetrisch kombinierte Christoffelsymbole ausdrücken und umgekehrt.

Noch ein interessanter Punkt: Nehmen wir wieder den Spezialfall   u = d/dxν   und   v = d/dxμ   (die sind Tangential-Vektorfelder und nicht nur Tangential-Vektoren, denn wir benötigen Vektor-Felder, um Lie-Klammer und kovariante Ableitungen bilden zu können). In diesem Fall fällt die Lie-Klammer weg, da die partiellen Ableitungen in die Koordinatenrichtungen miteinander vertauschen. Nun ist andererseits   Φ(p4) − Φ(p3)   =   [u, v](p0) Φ   ε ε'   +   ...  , d.h. für unseren Spezialfall ist   Φ(p4) − Φ(p3)   =   0  . Es scheint also keine Lücke im infinitesimalen Parallelogramm zu geben, wenn die Kantenvektoren in die Richtung der Koordinatenlinien zeigen. Andererseits hatten wir oben auch die Beziehung
  f ρ(p4) − f ρ(p3)   =   − T ρ(u(p0), v(p0))   ε ε'   +   ...
für die Lücke hergeleitet. Das aber ist nun verwirrend: Da es in unserem Spezialfall keine Lücke gibt, müsste darauf folgen, dass die Torsion   T ρνμ   Null ist. Das aber kann nicht sein, denn aus dem Spezialfall kann nicht folgen, dass die Torsion generell immer Null sein muss. Was also ist hier faul?
Wir kommen auf die Lösung, wenn wir uns die kovariante Ableitung ansehen:
  Dν d/dxμ   =   ∑ρ   Γ ρνμ   d/dx ρ
(mit der Schreibweise   Dν   =   Dd/dxν |p  ). Die Forderung, dass wir ein infinitesimales Parallelogramm vor uns haben, würde aber   Dν d/dxμ   =   0   bedeuten, d.h. die Christoffelsymbole   Γ ρνμ   müssten gleich Null sein. Das wäre der Fall, wenn wir es mit geradlinigen Koordinaten zu tun hätten. In diesem Fall hätten wir tatsächlich ein Parallelogramm vor uns, und die Torsion wäre Null. Bei krummlinigen Koordinaten jedoch, die bei vielen Mannigfaltigkeiten unvermeidlich sind, sind die Christoffelsymbole normalerweise ungleich Null, und daher ist auch   Dν d/dxμ   ungleich Null.
Entsprechend können die Tangentialvektorfelder in Richtung der Koordinatenlinien (also die Vektoren   d/dxμ  ) bei krummlinigen Koordinaten kein Parallelogramm aufspannen!
Wenn man sich sphärische Polarkoordinaten in der zweidimensionalen Ebene vorstellt, leuchtet das auch anschaulich unmittelbar ein.


Wie sieht es mit einer anschaulichen Interpretation der Torsion aus? Bisher wissen wir:

Nehmen wir zur weiteren Veranschaulicheng eine Einbettung zu Hilfe: Bei einer Einbettung hatten wir die Christoffelsymbole definiert durch (siehe Kapitel 5.1.6 Kovariante Ableitung und Paralleltransport ):

  d/dxν dX(x)/dxμ   =:   ∑ρ   Γ ρνμ dX(x)/dx ρ   +   hνμ N

Dabei war   X = f − 1   eine Parametrisierung der Mannigfaltigkeit im umgebenden Rn , d.h.   p = X(x)   ist ein Punkt auf der Mannigfaltigkeit, gleichzeitig gesehen als Punkt im Einbettungsraum Rn, und   x = f(p)   sind die Koordinaten dieses Punktes. Nun sind die partiellen Ableitungen aber vertauschbar, d.h. es ist   d/dxν dX(x)/dxμ   =   d/dxμ dX(x)/dxν   und somit auch   Γ ρνμ   =   Γ ρνμ  , d.h. die Torsion ist Null!

Haben Sie mal versucht, im Internet ein Beispiel für eine zweidimensionale Fläche im dreidimensionalen Raum zu finden, die anschaulich eine Torsion besitzt? Flächen mit Krümmung findet man an jeder Ecke, aber Flächen mit Torsion sucht man vergeblich. Nun wissen wir auch, warum: es gibt keine, zumindest nicht mit der obigen anschaulichen Definition der kovarianten Ableitung!

Nun wissen wir aber, dass man nach dem Einbettungssatz von Whitney (siehe Kapitel 5.1.5 Co-Tangentialräume und Differentialformen ) jede differenzierbare Mannigfaltigkeit im Rn einbetten kann, wenn man n groß genug wählt. Was wird dann aber aus Mannigfaltigkeiten mit Torsion?

Die Lösung lautet: Die kovariante Ableitung lässt sich bei Torsion nicht mehr allein durch Projektion der Richtungsableitung eines Tangentialvektors auf den Tangentialraum definieren. Die über die nicht-symmetrischen Christoffelsymbole definierte kovariante Ableitung besitzt nicht mehr die bisherige anschauliche Bedeutung. Anders gesagt: Nicht-symmetrische Christoffelsymbole bewirken, dass die Richtungsableitung des Tangentialvektors nicht nur auf den Tangentialraum projeziert wird, sondern dass dieser Vektor anschließend noch weiter verändert wird. Wie diese Veränderung genau aussieht, legt der antisymmetrische Anteil der Christoffelsymbole (also die Torsion) fest. Dazu schreiben wir

  Γ ρνμ   =   ( Γ ρνμ + Γ ρμν ) / 2   +   ( Γ ρνμ − Γ ρμν ) / 2   =:   Γ ρ(νμ)   +   T ρνμ / 2

Dabei ist   Γ ρ(νμ)   :=   ( Γ ρνμ + Γ ρμν ) / 2   der symmetrische Anteil des affinen Zusammenhangs und die Torsion   T ρνμ   =   ( Γ ρνμ − Γ ρμν ) der antisymmetrische Anteil.

Damit können wir nun die kovariante Ableitung bei Einbettung schreiben als

  Dv(p) u   =  
  =   ∑ρ   { v(p) uρ   +   ∑μν   uμ(p)   Γ ρνμ   vν(p) }   dX(x)/dx ρ   =  
  =   ∑ρ   { v(p) uρ   +   ∑μν   uμ(p)   ( Γ ρ(νμ)   +   T ρνμ / 2 )   vν(p) }   dX(x)/dx ρ   =   ...

Wir können nun die Einbettung so wählen, dass   d/dxν dX(x)/dxμ   =:   ∑ρ   Γ ρ(νμ) dX(x)/dx ρ   +   hνμ N   gilt. Anders ausgedrückt: Über eine Einbettung lässt sich der symmetrische Anteil des affinen Zusammenhangs so festlegen -- man sagt, die Einbettung induziert den symmetrischen Anteil des affinen Zusammenhangs. Wir können diesen symmetrischen Anteil also wieder als Projektion der Richtungsableitung schreiben (siehe Kapitel 5.1.6 Kovariante Ableitung und Paralleltransport ). Den antisymmetrischen Anteil wiederum können wir mit Hilfe der Torsion als   T(u(p), v(p))   :=   ∑ρ   ∑νμ   T ρνμ   uν(p) vμ(p)   dX(x)/dx ρ|p   schreiben. Ergebnis:

  =     P|T(p) du(γ(t)) / dt |t = 0   −   T(u(p), v(p)) / 2

Die kovariante Ableitung   Dv(p) u   enthält also neben der Projektion der Richtungsableitung   P|T(p) du(γ(t)) / dt |t = 0   als zweiten Term den Torsionsanteil   −   T(u(p), v(p)) / 2  . Dieser Torsionsanteil ist durch unsere Einbettung nicht vorgegeben, anders als der symmetrische Anteil. Dies zeigt, dass wir hier eine zusätzliche Freiheit in der Festlegung des affinen Zusammenhangs haben, die verträglich mit allen geforderten Eigenschaften der zugehörigen kovarianten Ableitung ist. Zwar legt unsere Anschauung bei einer Einbettung die Wahl   T(u(p), v(p)) = 0   nahe, aber eine Einbettung repräsentiert nicht immer in guter Art und Weise die wichtigen Eigenschaften einer Mannigfaltigkeit -- dies hatten wir in Kapitel 5.1.5 Co-Tangentialräume und Differentialformen am Beispiel der projektiven Räume bereits gesehen.


Schauen wir uns als Beispiel einen vollkommen antisymmetrischen konstanten affinen Zusammenhang im dreidimensionalen Raum R3 an. Wegen der Antisymmetrie des Zusammenhangs liegt eine Torsion vor. Wie es mit der Krümmung aussieht, schauen wir uns im nächsten Kapitel an. Auf eine Einbettung wollen wir verzichten -- diese kann uns in Bezug auf die Torsion ja sowieso nicht weiterhelfen. Betrachten wir nun die zugehörige Paralleltransport-Differentialgleichung für den Paralleltransport eines Vektors u entlang einer Kurve γ (siehe Kapitel 5.1.6 Kovariante Ableitung und Paralleltransport )

  duρ(γ(t')) / dt' |t' = t     +   ∑μν   uμ(γ(t))   Γ ρνμ(γ(t))   vν(γ(t))   =   0

Dabei sind vν die vorgegebenen Koeffizienten des zu γ(t) gehörenden Tangentialvektors. Wir verwenden im Folgenden karthesische Koordinaten. Da   Γ ρνμ   vollkommen antisymmetrisch sein soll, gilt   Γ ρνμ = T ρνμ / 2  , wobei   T ρνμ   nicht vom Ort abhängt (der affine Zusammenhang sollte ja konstant sein). Die geodätischen Linien sind einfach Geraden, denn die Differentialgleichung für geodätische Linien (siehe Kapitel 5.1.6 Kovariante Ableitung und Paralleltransport ) vereinfacht sich bei antisymmetrischen Christoffelsymbolen zu einer Geradengleichung (das muss auch so sein, denn diese Geodäten-Differentialgleichung enthält nur den symmetrischen Anteil der Christoffelsymbole, und der ist hier gleich Null). Als Kurven verwenden wir daher im Folgenden einfach diese Geraden, d.h. der Kurven-Tangentenvektor ist konstant:   vν(γ(t)) = vν  . Die vereinfachte Paralleltransport-Gleichung lautet also:

  duρ(γ(t')) / dt' |t' = t     +   ∑μν   uμ(γ(t))   T ρνμ   vν / 2   =   0

Übersetzen wir dies in eine Matrixgleichung: Wir definieren die konstante Matrix A(v) als
  ∑ν T ρνμ vν / 2   =:   A(v) ρμ  , d.h.   A(v) ρμ   =   T ρ(v, eμ) / 2  .
Weiter schreiben wir   u(γ(t'))   für den Spaltenvektor mit Komponenten uρ(γ(t')). Die Paralleltransport-Gleichung ist dann gegeben durch die Matrixgleichung

  du(γ(t')) / dt' |t' = t     +   A(v) u(γ(t))   =   0

Diese Gleichung besitzt die Lösung

  u(γ(t))   =   e− t A(v)   u(γ(0))

wie man durch Einsetzen leicht nachprüft.

Wir können nun verschiedene Beispiele für eine konstante Torsion ausprobieren und uns ansehen, wie sich u bei einer Parallelverschiebung entlang der v-Geraden verhält. Ein naheliegendes Beispiel ist   T ρνμ   =   2 ε ρνμ  . Dabei ist   ε ρνμ   gleich Null für zwei gleiche Indices, antisymmetrisch bei Vertauschung zweier Indices und es ist   ε 12 3 = ε 23 1 = ε 31 2 = 1  . Berechnen wir dazu   A(v) u  : Es ist

  (A(v) u) ρ   =  
  =   ∑μ A(v) ρμ uμ   =  
  =   ∑μν T ρνμ vν uμ / 2   =  
  =   ∑μν ε ρνμ vν uμ   =  
  =   (v × u) ρ

mit dem bekannten Kreuz-Vektorprodukt   v × u   dreidimensionaler Vektoren. Insgesamt ist also in unserem Beispiel   A(v) u   =   v × u  . Aus   Die Symmetrie der Naturgesetze, Kapitel 3.4, Die spezielle Relativitätstheorie - Drehungen   wissen wir, dass dann   e− t A(v)   eine Drehung um die v-Achse mit Drehwinkel   − t |v|   ist. Die Parallelverschiebung eines Vektors u entlang einer Geraden in v-Richtung führt also zu einer Drehung von u um die Geradenrichtung. Die Spitze des u-Vektors führt bei der Parallelverschiebung mit wachsendem t eine schraubenartige Bewegung um die v-Gerade aus, während sich der Fußpunkt von u entlang der Geraden bewegt. Dies macht deutlich, warum wir hier von Torsion reden, denn eine Parallelverschiebung hängt offenbar eng mit schraubenartigen Verdrehungen zusammen -- zumindest in diesem Beispiel.

Das Beispiel macht sehr schön den Unterschied zwischen den Begriffen parallel und geradeaus deutlich:


Nun mutet das obige Beispiel vielleicht etwas künstlich an. Gibt es auch Beispiele, bei denen eine Torsion ganz natürlich auftritt?

In den Jahren 1952 bis 1955 haben Kondo, Bilby, Bullough and Smith ein solches Anwendungsbeispiel gefunden. Sie studierten Gitterfehler in Festkörpern, insbesondere Stufenversetzungen und Schraubenversetzungen:


Schraubenversetzung in einem Kristall. Der dargestellte Vektor   b ist das Analogon zu unserer Lücke im Parallelogramm (siehe Bild ganz oben).
Quelle: Wikipedia Commons, File:Schraubenversetzung.png, dort Public Domain.


Man kann nun solche Versetzungen mit einem Parallelogramm umrunden, wobei man den Kurvenparameter so wählt, dass der Abstand zwischen Gitterpunkten immer einer Parameterdistanz ε entspricht, und wobei man Gitterlinien als zueinander parallel interpretiert. Auf diese Weise ergibt ein Gitterfehler eine nicht-verschwindende Torsion im Punkt der Versetzung, denn das Parallelogramm hat eine Lücke. Man kann nun einen Kontinuums-Grenzwert definieren, indem man den Gitterabstand gegen Null gehen lässt und dabei die Dichte der Versetzungen konstant lässt (was das genau bedeutet, überspringen wir hier). Auf diese Weise erhält man eine Kontinuumstheorie der Versetzungen, bei der die Torsion die Versetzungen im Kristall darstellt. Dies liefert eine anschauliche Interpretation der Torsion als Kontinuums-Grenzwert einer Gittertheorie mit Versetzungen.

Ein anderes Beispiel, bei dem Torsion wichtig wird, ist die Einstein-Cartan-Theorie der Gravitation (siehe z.B. Wikipedia: Einstein–Cartan theory ). Diese Theorie hat ihren Ursprung in der Erkenntnis, dass Einsteins allgemeine Relativitätstheorie der Gravitation gewisse Schwierigkeiten mit Drehimpulsen und deren Austausch hat. Nun setzt man in der allgemeinen Relativitätstheorie die Torsion gleich Null, da kein Grund für eine nichtverschwindende Torsion vorzuliegen scheint. In der Einstein-Cartan-Theorie versucht man nun, mit Hilfe einer Torsion die Drehimpuls-Probleme der allgemeinen Relativitätstheorie auszuräumen.


Literatur zu dem Thema:


zurück zum Inhaltsverzeichnis

last modified on 30 December 2008