Kapitel 5
Ungelöste Rätsel

4   Quantenfeldtheorie und Eichfelder

1   Einleitung



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Unter den sieben Millenium Prize Problems des Clay Mathematics Institute (siehe http://www.claymath.org/Millennium_Prize_Problems/ ) ist eines, das sowohl für Mathematiker als auch für Physiker von sehr großem Interesse ist: die Yang-Mills-Theorie (auch Eichtheorie genannt), und zwar in ihrer quantentheoretischen Ausprägung (siehe http://www.claymath.org/Millennium_Prize_Problems/Yang-Mills_Theory/ ). Wer es schafft, die mathematische Existenz einer solchen Theorie zu beweisen, hat sich eine Million US-Dollar verdient.

Worum geht es?

Man glaubt heute, dass eine grundlegende mathematische Beschreibung der physikalischen Naturgesetze im Rahmen von relativistischen Quantenfeldtheorien erfolgen muss. Das sind Theorien, die sowohl die Regeln der Quantentheorie als auch die Regeln der speziellen Relativitätstheorie gleichermaßen beinhalten, was zu einer bestimmten mathematischen Struktur führt, die jede solche Theorie besitzen muss. Sowohl Quantentheorie als auch Relativitätstheorie gehören seit dem ersten Drittel des zwanzigsten Jahrhunderts zu den grundlegenden Rahmengesetzen, in die sich nach heutigem Wissen jede Theorie der Naturgesetze einfügen muss. Jede grundlegende physikalische Theorie muss also eine relativistische Quantenfeldtheorie sein.

Was aber sind Eichfelder, bzw. was ist eine Eichtheorie (also eine Yang-Mills-Theorie)?

Letztlich handelt es sich darum, aufgrund von gewissen Symmetrieforderungen die Dynamik der Theorie zu erraten. Was das genau bedeutet, werden wir erst später verstehen können. Das Kochrezept, das man dabei verfolgt, ist in etwa folgendes:

Warum verfolgt man eigentlich dieses Konzept? Weil es sich als sehr erfolgreich herausgestellt hat! Man kann auf diese Weise die elektromagnetischen Kräfte genauso wie die sogenannte schwache sowie die starke Wechselwirkung theoretisch mit sehr hoher Präzision beschreiben. Die gesamte heute (Jahr 2003) experimentell erreichbare Physik mit Ausnahme der Gravitation passt in diesen Rahmen! Dabei kommt allerdings noch ein weiterer Mechanismus hinzu, den wir oben verschwiegen haben: die spontane Symmetriebrechung.

Für das Millenium Prize Problem wurde der Rahmen etwas vereinfacht: Es werden reine Eichtheorien betrachtet, d.h. Felder für Quarks, Elektronen usw. (allgemein: Fermionfelder) sowie explizit symmetriebrechende Felder wie das Higgs-Feld werden weggelassen. Eine solche Theorie wäre die Elektrodynamik ohne elektrisch geladene Teilchen (also die Theorie der elektromagnetischen Wellen im ansonsten leeren Raum) oder die Quantenchromodynamik ohne Quarks (also die Theorie der Gluonen und Gluebälle).

Es ist nicht ganz einfach, in einem Kapitel zu erklären, was eine relativistische Eich-Quantenfeldtheorie ist. Geht man zu sehr ins Detail, kann man schnell ganze Bücher füllen. Umgekehrt darf man auch nicht zu sehr vereinfachen, da man sonst keine Chance hat, zu verstehen, worum es geht. Ich will versuchen, hier einen geeigneten Mittelweg einzuschlagen, wobei ich an mehreren Stellen auf andere Texte verweisen möchte, in denen ich entweder mehr ins Detail gehe, oder in denen ich versuche, das Thema mit weniger Mathematik und mehr anschaulichen Bildern anzugehen. Allerdings fand ich ein einziges Kapitel doch etwas knapp, um das Wesen von Quantenfeldtheorien auch nur einigermaßen zu erklären. Daher gibt es zu diesem Thema mehrere Unterkapitel, in denen ich versuche, die einzelnen Bausteine zusammenzutragen und am Schluss zu einem Gesamtgebilde zu vereinen.


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last modified on 14 November 2003