Kapitel 2
Princeton, Pfadintegrale und das Manhattan-Projekt

3  Die Wirkung in der Quantenmechanik

Zusammenfassung des Buchkapitels:



Zusatzinformationen:

a) Elementarwellen in der Quantenmechanik und komplexe Zahlen
b) Das Pfadintegral in der Quantenmechanik



a) Elementarwellen in der Quantenmechanik und komplexe Zahlen

Wenn Sie die Verbindung zwischen Lagrangefunktion und Quantenmechanik in Detail sehen wollen und keine Angst vor komplexen Zahlen haben, dann könnte diese Zusatzinfo interessant für Sie sein:

Die Wellenfunktion ψ am Ort x‘ zur Zeit t + Δt ergibt sich nach dem Huygensschen Prinzip durch Überlagerung aller Elementarwellen K(x‘,x, Δt), die zur früheren Zeit t an allen Orten x entstehen, wobei die Elementarwellen noch mit der Wellenfunktion am Entstehungsort gewichtet (multipliziert) werden müssen. Die folgende Formel drückt dies mathematisch aus:

Man bezeichnet K auch als Propagator, denn er legt fest, wie die Wellenfunktion propagiert, also sich ausbreitet und weiterentwickelt. Wenn das Zeitintervall Δt sehr klein ist und die Orte x und x' entsprechend nahe beieinander liegen, dann ist K durch folgende Formel gegeben, wie Feynman mithilfe der Idee von Dirac gezeigt hat:

mit einem passenden Faktor A sowie ℏ = h/(2π) und der imaginären Einheit i mit i2 = − 1. Dirac hatte noch etwas ungenau gesagt, K sei analog zu der e-Funktion rechts, ohne den genauen Proportionalitätsfaktor A anzugeben. In der Lagrangefunktion L = T − V muss dabei der Ort x für die Berechnung der potentientiellen Energie V und die Geschwindigkeit v = (x‘ − x)/Δt für die Berechnung der kinetischen Energie T verwendet werden.

Übrigens: Wenn Sie mal einen Blick auf das Buchcover werfen, werden Sie oben links in der Ecke folgende Formel an der Tafel hinter Feynman sehen:

Das ist genau die Formel für den Propagator, wobei Feynman statt Δt den Buchstaben ε verwendet und in der Klammer hinter L genau angibt, was man für die Geschwindigkeit und den Ort in L einsetzen muss.

Die Größen ψ, K und die e-Funktion sind dabei alles komplexe Zahlen, die man sich als Pfeile oder Uhrzeiger in der zweidimensionalen Ebene vorstellen kann (in der folgenden Grafik dargestellt für eine komplexe Zahl z = x + i y mit reellen Zahlen x und y, die man auch als Realteil und Imaginärteil von z bezeichnet):

Dabei ist die e-Funktion folgendermaßen definiert:

ei φ = cos φ + i sin φ

mit dem reellen Drehwinkel φ. Die e-Funktion entspricht also einem Pfeil der Länge 1, der um den Winkel φ gegen den Uhrzeigersinn relativ zur x-Achse gedreht ist. Man kann mit dieser e-Funktion wie mit der gewohnten reellen e-Funktion rechnen.

In der Formel für den Propagator K oben ist im Bogenmaß der Drehwinkel φ gegeben durch

mit n = Δt · L/h. Diese reelle Zahl n gibt also die Anzahl Umdrehungen (Wellen-Schwingungen) an, wobei im Bogenmaß eine volle Umdrehung dem Drehwinkel 2π entspricht.



b) Das Pfadintegral in der Quantenmechanik

Unter a) haben wir die folgende Formel kennengelernt, die die Weiterentwicklung der Wellenfunktion ψ von den Punkten x zu einem benachbarten Punkt x‘ über ein sehr kurzes Zeitintervall Δt beschreibt:

Dabei haben wir die Formel für den Propagator K schon eingesetzt und die Abhängigkeit der Lagrangefunktion vom Punkt x und der Geschwindigkeit v = (x‘−x)/Δt explizit angegeben. Dieselbe Formel beschreibt auch die Weiterentwicklung im nächsten Zeitintervall von den Punkten x‘ zu einem Punkt x‘‘, wenn wir in der Formel x‘‘ statt x‘ und x‘ statt x schreiben und die Zeitpunkte ins nächste Zeitintervall verschieben:

Hier können wir nun rechts unsere erste Formel für die Wellenfunktion einsetzen und erhalten ein Doppelintegral:

Die beiden e-Funktionen können wir dabei zusammenfassen:

Das Spiel können wir wiederholen und eine Formel für ψ(x''',t+3Δt) aufstellen, in die wir dann die obige Formel einsetzen − es entsteht ein Dreifachintegral, wobei wir die e-Funktionen wieder zusammenfassen können. Wenn wir dies unendlich oft tun und die Zeitintervalle Δt unendlich klein werden lassen, so entsteht ein unendlich-faches Integral, das wir auch als Integral über alle Wege auffassen können, die den Endpunkt erreichen − eben als sogenanntes Pfadintegral:

Aus der Summe der Lagrangefunktionen im Exponenten der e-Funktion entsteht dabei das Zeitintegral über die Lagrangefunktion entlang des jeweiligen Weges − also die Wirkung   S = ∫ L dt   des Weges − sodass am Ende gilt:

Der Wellenbeitrag eines jeden Weges im Pfadintegral ist proportional zu ei S/ℏ mit der Wirkung S des jeweiligen Weges. Er besitzt damit n = S/h Schwingungen, denn ei S/ℏ = ei 2π S/h = ei 2π n.



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last modified on 27 August 2017