Kapitel 8
Aufbruch in neue Welten

1  Supersymmetrie, Stringtheorie und andere Ausblicke

Das Standardmodell beschreibt als relativistische Quantenfeldtheorie erfolgreich die starke, schwache und elektromagnetische Wechselwirkung der 6 Quarks und 6 Leptonen. Dennoch kann das Standardmodell nicht die gesuchte fundamentale Theorie der Naturgesetze sein, denn es enthält eine ganze Reihe freier Parametern und umfasst keine Quantentheorie der Gravitation.

Es gibt viele Ansätze für umfassendere Theorien, die über das Standardmodell hinausgehen. Dabei kristallisieren sich zwei wesentliche Grundelemente heraus, ohne die man nur schwer auszukommen scheint: Dualität und Supersymmetrie.

Dualität bedeutet, mehrere gleichwertige Formulierungen für eine einzige Quantenfeldtheorie zu haben. Eine dieser Formulierungen (die Störungsrechnung) besteht typischerweise in einer Reihenentwicklung in Potenzen einer Ladung oder Kopplungskonstante - nennen wir sie hier g. Die Formulierungen mit Hilfe von Feynmangraphen ist gerade eine solche Reihenentwicklungen. Nur wenn g deutlich kleiner als 1 ist, kann diese Formulierung funktionieren.

Es wäre nun schön, wenn man in Bereichen, in denen g groß ist, eine Reihenentwicklung in Potenzen von 1/g (statt g) finden könnte, denn eine solche Reihenentwicklung würde gerade für große Werte von g zu brauchbaren Resultaten führen. Diese zweite Reihenentwicklung wäre in dem Sinn dual zu der Reihenentwicklung in g, dass sie gerade dort anwendbar ist, wo die andere Reihenentwicklung versagt.

Man kann die Idee dieser Dualität am Beispiel der geometrischen Reihe verdeutlichen. Betrachten wir die unendliche Summe

R1   =   1 + q + q2 + q3 + ¼

Diese Reihe ergibt dann ein sinnvolles Resultat, wenn der Betrag von q kleiner als 1 ist. In diesem Fall kann man die einfache Formel

R1   =   1 1-q

für den Wert der Reihe aufstellen. Wir haben diese Formel bereits kennengelernt. Betrachten wir nun die Reihe

R2   =   - 1 q    æ ç è 1 + 1 q + 1 q2 + 1 q3 + ¼ ö ÷ ø

Bis auf den Vorfaktor   − 1/q   haben wir hier ebenfalls eine geometrische Reihe vor uns, diesmal aber mit Potenzen von 1/q statt q. Wenn der Betrag von 1/q kleiner als 1 ist (d.h. wenn der Betrag von q größer als 1 ist), ergibt demnach auch diese Reihe einen endlichen Wert, nämlich

R2   =   - 1 q    1 1- 1 q   =   1 1-q

Überraschenderweise wird der Wert der Reihe R₂ durch die gleiche Formel angegeben wie der Wert für die Reihe R₁. Wir können den Spieß nun umdrehen und von der Formel

R = 1 1-q

ausgehen. Diese Formel repräsentiert nun unsere Quantenfeldtheorie in nicht-störungstheoretischer Form. Leider kennen wir aber in Quantenfeldtheorien normalerweise nur die Reihenentwicklungen der Störungstheorie. Wenn wir aber die zwei zueinander dualen Reihenentwicklungen R₁ und R₂ kennen, von denen die eine gerade dort anwendbar ist, wo die andere versagt, so haben wir die Theorie überall (außer bei   q = ±1   ) unter quantitativer Kontrolle und benötigen die universelle Formel   R = 1/(1-q)   nicht mehr.

Die blaue Kurve   R = 1/(1-q)   stehe hier stellvertretend für die exakte Lösung einer Quantenfeldtheorie. Im Bereich kleiner Beträge von q kann sie gut durch die Reihenentwicklung   R₁ = 1 + q + q² + q³ + ¼   approximiert werden. Die Summe der ersten drei Terme dieser Reihe ist als rote Kurve dargestellt. Die zu   R₁ duale Reihe R₂ = (-1/q) (1 + 1/q + 1/q² + ¼)   ist dagegen im Bereich großer Beträge von q als Näherung geeignet. Die Summe der ersten drei Terme dieser Reihe ist als grüne Kurve dargestellt.

Kommen wir nun zum zweiten wesentlichen Element, der Supersymmetrie. Sie geht davon aus, dass es eine Symmetrie zwischen Fermionen und Bosonen gibt, also zwischen Teilchen mit halbzahligem und ganzzahligem Spin. Entsprechend folgt daraus, dass zu jedem Fermion ein supersymmetrisches Partner-Boson existieren muss und umgekehrt. Hier sind einige potentielle supersymmetrische Partnerteilchen (SUSY-Teilchen) aufgelistet:

• mathematische Eleganz
• Abschwächung der Divergenzen in Feynmangraphen
• wichtiger Baustein bei der Formulierung von Stringtheorien
• die gleitende Ladungen der starken, schwachen und elektromagnetischen Wechselwirkung nehmen bei 10¹⁶ GeV (also etwa einem Tausendstel der Planck-Energie) alle drei den gleichen Wert von etwa Ö[(1/26)] (angegeben in natürlichen Einheiten) an (Hinweis auf eine Vereinigung der drei Wechselwirkungen).

Die Supersymmetrie muss spontan gebrochen sein, denn sonst hätten die SUSY-Teilchen dieselben Massen wie die bisher bekannten Teilchen. Die SUSY-Teilchen müssen aber sehr viel schwerer sein als die gewöhnlichen Teilchen, denn sonst hätte man sie längst entdeckt.

SUSY-Teilchen können immer nur in Paaren erzeugt und vernichtet werden. Die Folge davon ist, dass das leichteste SUSY-Teilchen stabil sein muss. Dieses leichteste SUSY-Teilchen könnte einen wesentlichen Bestandteil der dunklen Materie im Universum bilden. Man hofft, am neuen LHC-Beschleuniger neben dem Higgs-Teilchen auch solche SUSY-Teilchen zu finden.

Es gibt einen besonders interessanten Ansatz für eine fundamentalere physikalische Theorie, die über das Standardmodell hinausgeht und die sowohl Supersymmetrie als auch Dualitäten umfasst: die sogenannte M-Theorie, die die fünf bekannten Stringtheorien zusammenfasst. Diese Stringtheorien benötigen eine zehndimensionale Raumzeit, um konsistente Quantentheorien zu liefern. Sechs der neun Raumdimensionen müssen dabei vermutlich sehr klein zusammengerollt sein, so dass sie bisher nicht auffallen:

Rollt man ein zweidimensionales Blatt Papier zu einem immer dünneren Zylinder ein, so erscheint der Zylinder aus der Ferne betrachtet schließlich wie ein eindimensionaler Faden. Man sagt, eine der beiden Dimensionen wurde eingerollt.

Falls manche dieser Dimensionen nicht zu eng aufgerollt sind, sondern einen Einrollradius im Bereich Millimeter-Bruchteilen aufweisen, so könnte es instabile schwarze Mikrolöcher mit einer Masse deutlich unterhalb der Planckmasse geben (Werte oberhalb von 0,1 mm wurden bereits experimentell ausgeschlossen). Am Large Hadron Collider sucht man nach solchen schwarzen Mikrolöchern -- wenn man sie findet, wäre das ein Beweis für solche relativ großen Extra-Raumdimensionen. Mehr dazu im Buchkapitel und unten im Zusatzmaterial.

Die elementaren Objekte in der zehndimensionalen Raumzeit der Stringtheorie sind schwingende Strings (Fäden) mit einer Raumdimensionen, analog zu einem kleinen Faden.

• Edward Witten (geboren am 26ten August 1951) gilt als einer der bedeutendsten theoretischen Physiker und Mathematiker unserer Zeit. Im Jahr 1990 erhielt er die Fields-Medaille, die den Stellenwert eines Nobelpreises in der Mathematik besitzt. Eine seiner bedeutendsten Leistungen ist die sogenannte zweite Revolution in der Stringtheorie -- diese Theorie wird als möglicher Kandidat für eine grundlegende Theorie der gesamten Physik (Weltformel oder Theory of everything) gehandelt. Wittens Überlegungen legen nahe, dass die Quantentheorien der fünf verschiedenen klassischen Stringtheorien sowie der sogenannten Supergravitation alle nur verschiedene Grenzfälle einer einzigen grundlegenden Quanten-Stringtheorie sind, die als M-Theorie bezeichnet wird.
  Quelle: Wikimedia Commons File:Edward Witten.jpg, dort Public Domain. Beschreibung: Edward Witten giving a speech at Chalmers tekniska högskola, Göteborg, Sweden, April 2008.
  Einen sehr schönen allgemeinverständlichen Vortrag von Edward Witten zur Stringtheorie findet man unter: Edward Witten: String theory and the Universe, 2010 Newton Lecture at the Institute of Physics (IOP, London), physicsworld.com: String theory woven in twists and turns sowie unter http://www.iop.org/resources/videos/lectures/page_44292.html.

Was weiß man über die M-Theorie? Man weiß, dass sie eine Raumdimension mehr als die Stringtheorien benötigt, also zehn Raum- und eine Zeitdimension. Dies ist notwendig, da eine weitere Theorie (die sogenannte Super-Gravitation) als Grenzfall der M-Theorie auftreten muss. Weiter weiß man, dass die M-Theorie nicht nur Strings mit einer Raumdimension beinhaltet, sondern auch zwei-, drei- und höherdimensionale Objekte (Branen). Es ist jedoch bis heute nicht gelungen, die M-Theorie mathematisch vollständig zu formulieren. Mehr zur M-Theorie und ihrer Verbindung zu Stringtheorie und Supergravitation im Buchkapitel.

Zusatzinformationen:

"I don’t have any solution, but I certainly admire the problem" (Zitat von Ashleigh Brilliant)

"Even before string theory, especially as physics developed in the 20th century, it turned out that the equations that really work in describing nature with the most generality and the greatest simplicity are very elegant and subtle."
(Edward Witten in einem NOVA interview Viewpoints on String Theory, July 2003)

"The more the universe seems comprehensible, the more it also seems pointless."
(Steven Weinberg in Dreams of a Final Theory: The Search for the Fundamental Laws of Nature (1993))

"Maybe nature is fundamentally ugly, chaotic and complicated. But if it's like that, then I want out."
(Steven Weinberg zitiert in Paul Steinhardt: Endless Universe, beyond the Big Bang, New York : Doubleday, 2007, S. 221)

a) Schwarze Mikro-Löcher und zusätzliche Raumdimensionen
b) String- und M-Theorie

a) Schwarze Mikro-Löcher und zusätzliche Raumdimensionen

Die Gravitationskraft nimmt im dreidimensionalen Raum quadratisch mit zunehmendem Abstand r ab. Man kann sich dies als Ausdünnung der Kraftfeldlinien vorstellen: Die radial von der gravitativen Masse ausgehenden Kraftfeldlinien durchstoßen im Abstand r eine gedachte Kugeloberfläche der Größe 4πr², wobei wir uns vorstellen, dass sich ihre Durchstoßpunkte gleichmäßig darauf verteilen. Die Dichte der Durchstoßpunkte soll die Stärke der Kraft in diesem Abstand bestimmen. Vergrößert man den Abstand, so vergrößert sich quadratisch dazu die Kugeloberfläche und die Dichte der Durchstoßpunkte nimmt entsprechend quadratisch mit zunehmendem Abstand r ab.

Hätte der Raum nur zwei Dimensionen, so würden sich die Kraftfeldlinien nur auf einer zweidimensionalen Fläche ausbreiten und sie würden im Abstand r keine Kugeloberfläche, sondern einen Kreis durchstoßen. Entsprechend nähme ihre Dichte nur mit 1/r ab, d.h. die Gravitationskraft würde nur proportional mit 1/r abnehmen. Im dreidimensionalen Raum entspräche das der Gravitationskraft eines unendlich langen geraden massiven Drahtes.

Man kann sich nun folgende interessante Situation vorstellen: Nehmen wir an, der dreidimensionale Raum wäre von zwei parallelen Ebenen begrenzt, die den Abstand 2R voneinander haben, und nehmen wir an, dass sich die Kraftfeldlinien der Gravitation nur in diesem Raum zwischen den beiden Ebenen ausbreiten können. Mitten zwischen die beiden Ebenen setzen wir nun eine punktförmige Masse m₁. Bei Abständen deutlich kleiner als dem Plattenabstand R merken die Feldlinien noch nichts von den Platten und breiten sich radial nach allen Seiten aus. Wenn wir die Zahl der Feldlinien gleich der felderzeugenden Masse m₁ (in passender Einheit) setzen, so ist ihre Flächendichte ρ im Abstand r in diesem Bereich gegeben durch   ρ = m₁ / (4πr²) .

Schauen wir uns nun Abstände r an, die viel größer als der Plattenabstand 2R sind. Nun merken die Feldlinien die Begrenzung durch die beiden Platten und laufen parallel zu den Platten radial von der Masse weg, so als ob die sich nur noch in zwei Raumdimensionen bewegen könnten. Dabei durchstoßen sie einen Zylindermantel mit Fläche   2πr 2R = 4πr R   . Da sich ihre Anzahl m₁ nicht geändert hat, muss ihre Flächendichte dort durch   ρ = m₁ / (4πr R)   gegeben sein. Im Vergleich zu kleineren Abständen ist im Term   r²   gleichsam ein r-Faktor bei r=R eingefroren worden.

In diesem Beispiel ist der dreidimensionale Raum vertikal begrenzt. Die Gravitations-Feldlinien können sich in der Nähe der erzeugenden Masse noch frei in alle drei Raumdimensionen ausbreiten, werden aber bei größeren Abständen in die horizontale Ebene gezwungen und können sich nur noch in den unbegrenzten zwei Raumdimensionen weiter ausbreiten.

Man kann daraus das Kraftgesetz bei kleinen und großen Abständen (im Vergleich zu R) ableiten: Bei Abständen, die klein gegenüber dem Plattenabstand R sind, gilt das normale Gravitationsgesetz:

  F   =   G m₁ m₂ / r²   =   G m₂ 4πρ

Auch bei großen Abständen (im Vergleich zu R) soll die Gravitationskraft durch die Flächendichte ρ der Kraftfeldlinien gegeben sein, also   F = G m₂ 4πρ   gelten. Damit erhalten wir dort

  F   =   G m₁ m₂ / (r R)

Wir können nun erraten, was mit dem Gravitationsgesetz allgemein geschieht, wenn Raumdimensionen begrenzt werden: Pro begrenzter Raumdimension wird ein r auf den Begrenzungswert R eingefroren, sobald man in den nicht-begrenzten Dimensionen Abstände deutlich oberhalb dieses Begrenzungswertes betrachtet. Dabei ist es egal, ob die Begrenzung durch zwei Platten oder durch Einrollen geschieht.

Wir hatten in Kapitel 7.2 (Zusatzinformationen) das Gravitationsgesetz in drei Raumdimensionen mit Hilfe der Planckmasse m_p folgendermaßen umgeschrieben:

  F   =   (m₁ m₂ / m_p²)   h_qc / r²

Nehmen wir nun an, wir hätten es mit n Zusatzdimensionen zu tun. Das Gravitationsgesetz in 3+n Raumdimensionen können wir dann schreiben als

  F_n   =   (m₁ m₂ / m_p,n²)   h_qc / r²   (l_p,n / r)ⁿ

so dass die Gravitationskraft mit 1/r²⁺ⁿ abnimmt, entsprechend der nun größeren Verdünnung der Feldlinien. Die Stärke der Gravitation in diesen 3+n Raumdimensionen wird dabei durch eine neue Planckmasse   m_p,n   und die daraus berechnete Plancklänge   l_p,n   parametrisiert (sie enthalten die entsprechende Gravitationskonstante). Diese beiden Parameter wollen wir nun dadurch festlegen, dass wir die n neuen Raumdimensionen auf Abstände bis R begrenzen (z.B. einrollen) und in den drei übrigen unbegrenzten Raumdimensionen fordern, dass sich bei Abständen deutlich größer als R das normale Gravitationsgesetz mit der bekannten Stärke ergibt. Bei diesen Abständen müssen wir analog zu oben n mal den Abstand r durch R ersetzen, ihn also einfrieren. Es soll also bei großen r gelten:

  F_n   =   (m₁ m₂ / m_p,n²)   h_qc / r²   (l_p,n / R)ⁿ   =   F   =   (m₁ m₂ / m_p²)   h_qc / r²

so dass sich

  m_p²   =   m_p,n²   (R / l_p,n)ⁿ   =   m_p,n²   (R m_p,n c / h_q)ⁿ   =   m_p,n²⁺ⁿ   (R c / h_q)ⁿ

ergibt. Freigestellt nach dem Radius haben wir

  R   =   h_q/c   [ m_p² / m_p,n²⁺ⁿ ]^1/n   =   h_qc   (m_p / m_p,n)^2/n   1/(m_p,nc²)

Wenn wir am Large Hadron Collider (LHC) bereits schwarze Mikrolöcher erzeugen wollen, so müssen wir über die neue Planck-Masse   m_p,n   kommen, denn nur dann wird der entsprechende Schwarzschildradius größer als die quantenmechanische Ortsunschärfe   l_p,n   (siehe Kapitel 7.2; genau genommen müssten wir dazu noch den Schwarzschildradius für den Fall verborgener Zusatzdimensionen berechnen -- das Ergebnis lautet   r_sⁿ⁺¹   =   2/(n+1) l_p,nⁿ⁺¹ m/m_p,n   , was bei n=0 unser bekanntes Ergebnis reproduziert; es stellt sich damit heraus, dass ein Schwarzes Loch mit m = m_p,n ungefähr einen Schwarzschildradius der Größe l_p,n besitzt, siehe z.B. Sabine Hossenfelder: What Black Holes Can Teach Us, Kap. 5, arXiv.org > hep-ph > arXiv:hep-ph/0412265). Am LHC können wir bis zu 2 mal 7 TeV erreichen -- wir setzen daher für die neue Planck-Masse versuchsweise 1 TeV ein. Die übliche Planckmasse m_p hat ungefähr den Wert   10¹⁶ TeV   , so dass wir

  R   =   h_qc   (10¹⁶)^2/n   1/(1 TeV)   =   2 * 10^{− 4} fm   10^32/n

haben. Für 1, 2, 3, oder 4 zusätzliche Raumdimensionen müsste die Begrenzung (Einrollradius) R dieser Dimensionen folgende Werte haben (sofern ich mich nicht verrechnet habe ... ):

• n = 1 :   R = 2 * 10¹⁶ mm     , experimentell ausgeschlossen
• n = 2 :   R = 2 mm     , experimentell fast ausgeschlossen
• n = 3 :   R = 10^{− 5} mm     , möglich
• n = 4 :   R = 0,2 A     , möglich

(sollte ich mich hier verrechnet haben, wäre ich für eine Email sehr dankbar). Falls tatsächlich Extra-Raumdimensionen mit Einrollradien R deutlich oberhalb der gewohnten Planck-Länge l_p existieren, so dürfen übrigens die anderen Wechselwirkungen davon nichts merken, sonst wäre das bereits aufgefallen. Sie bleiben auf 3 Raumdimensionen beschränkt. Nur die Gravitation bemerkt die relativ großen Extra-Dimensionen. Daher kann sie bei Abständen unterhalb von R deutlich stärker sein als wir es im dreidimensionalen Raum bemerken, denn erst ihre Verdünnung aufgrund der großen Extra-Dimensionen lässt sie dann im dreidimensionalen Raum bei Abständen oberhalb von R so schwach erscheinen, verglichen mit den anderen Wechselwirkungen. Entsprechend klein darf die neue Planckmasse m_p,n sein.

b) String- und M-Theorie

Hier noch einige ergänzende Stichpunkte zur String- und M-Theorie, wobei ich beide Begriffe hier teilweise synonym verwende. Vieles davon findet man auch in den verschiedenen Veröffentlichungen von Edward Witten zu diesem Thema (siehe Literaturangaben am Kapitelende sowie Homepage of Edward Witten, Institute for Advanced Study, Princeton ). Weitere vertiefende Infos gibt es auch in Die Symmetrie der Naturgesetze, Kapitel 6.2: Stringtheorie.

Der Ursprung der Stringtheorie:

Stringtheorie was ursprünglich (1968 - 1974) dafür gedacht, die starke Wechselwirkung zu erklären. Schließlich bildet sich zwischen zwei Quarks ein Gluon-String aus, wenn man versucht, sie auseinanderzuziehen. Man stellte allerdings um 1974 fest, dass die Stringtheorie (anders als die QCD) nicht die passenden Eigenschaften für die starke Wechselwirkung aufweist, da sie beispielsweise masselose Spin-2-Teilchen voraussagt.

Für die Quantengravitation braucht man jedoch genau solche Teilchen (Gravitonen)! Also kam man auf die Idee, die Stringtheorie auf ihre Brauchbarkeit für die Quantengravitation und sogar für eine universelle Beschreibung aller Wechselwirkungen hin zu untersuchen (Michael Greene, John Schwarz, Lars Brink und andere). Es gelang nach ersten Schwierigkeiten im Jahr 1984 sogar, die Paritätsverletzung der schwachen Wechselwirkung in die Stringtheorie zu integrieren. Dazu war ein eleganter neuer Mechanismus notwendig, genannt anomaly cancellation (Anomalie-Aufhebung). Damit wurde es sogar möglich, viele Eigenschaften des Standardmodells zu reproduzieren, inklusive einer Quantengravitationstheorie (Stichwort: heterotische Strings). Das kann außer der String-Theorie bis heute keine andere Theorie!

Was für die Stringtheorie spricht:

1. Die Stringtheorie ist die einzige bekannte konsistente Verallgemeinerung der relativistischen Quantenfeldtheorie und damit des Standardmodells.

2. Die Stringtheorie erzwingt die Existenz der allgemeinen Relativitätstheorie als klassischen Niederenergie-Grenzfall und liefert eine konsistente Quantenbeschreibung der Gravitation (anders als die Quantenfeldtheorie). In diesem Sinn ist die Existenz der Gravitation eine zwingende Voraussage der Stringtheorie. Während die relativistische Quantenfeldtheorie nur ohne Gravitation funktioniert, funktioniert die Stringtheorie nur mit Gravitation.

3. Die Stringtheorie eröffnet einen naheliegenden Weg für die Integration des Standardmodells. Sie erzwingt nämlich die Existenz von Eichtheorien, wie sie die Grundlage des Standardmodells bilden.

4. Die Stringtheorie erzwingt die Existenz der Supersymmetrie. Wenn man also am LHC tatsächlich SUSY-Teilchen findet, so wäre dies ein weiterer Hinweis in Richtung Stringtheorie.
   In Witten: Magic, Mystery, and Matrix findet man folgende schöne Kurzbeschreibung für die geometrische Bedeutung der Supersymmetie in der Mathematik (für Leser mit mathematischen Vorkenntnissen):
   • Supersymmetrische Quantenfeldtheorie verhält sich zu gewöhnlicher Quantenfeldtheorie wie Differentialformen auf einer Mannigfaltigkeit zu Funktionen auf dieser Mannigfaltigkeit.

   Witten spielt dabei darauf an, dass man mit Differentialformen die Geometrie und Topologie eines gekrümmten Raums viel besser erfassen kann als mit skalaren Feldern, denn mit Differentialformen sind Linien- und Flächenintegrale möglich (wie bei elektromagnetischen Feldern), mit skalaren Feldern dagegen nur Volumenintegrale. Ähnlich erweitert die Supersymmetrie die geometrische Empfindlichkeit einer Quantenfeldtheorie auf natürliche Weise.

5. Stringtheorie ist sehr reichhaltig und eröffnet neue Einsichten, beispielsweise zum Quark-Confinement, zur Entropie schwarzer Löcher, zum holografischen Prinzip sowie zu vielen Problemen aus der Mathematik (z.B. nichtkommutative Geometrie).

6. Die Stringtheorie enthält außer der Stringspannung (die gleichwertig zur Gravitationskonstante G zu sehen ist, s.u.) keine freien Kopplungsparameter oder Teilchenmassen, ganz im Gegensatz zum Standardmodell. Die Bedingungen, die Relativitätstheorie und Quantentheorie zusammen den Strings auferlegen, sind sehr restriktiv. Vermutlich gibt es letztlich nur eine einzige konsistente Stringtheorie: die sogenannte M-Theorie. Diese Theorie könnte allerdings sehr viele physikalisch verschiedene Vakuum-Zustände aufweisen, die unterschiedlichen Universen entsprechen könnten (bug oder feature?!).

Allerdings überträgt sich die Frage, was denn die Teilcheneigenschaften bestimmt, damit auf den Raum selbst, beispielsweise auf die Art, wie die meisten der Raumdimensionen eng zusammengerollt sind -- dies legt nämlich die Schwingungen in Richtung dieser Raumdimensionen fest. So ganz sind wir also noch nicht aus dem Schneider!

Es gibt sogar die Vermutung, dass sehr viele Einrollmöglichkeiten im Prinzip realisierbar sind. In der Quanten-Stringtheorie entspricht dies den verschiedenen möglichen Vakuum-Zuständen. Womöglich wäre es dann nur einem Zufall im Urknall zu verdanken, dass die Zusatzdimensionen unseres sichtbaren Universums ausgerechnet so eingerollt ist, dass sich die von uns beobachteten Naturgesetze ergeben, beispielsweise die Massen und Ladungen der Quarks und Leptonen. Wir leben dann eben zufällig genau in dem Teil des Multi-Universums, der die passenden Parameter für die Entstehung von Leben bietet, sonst gäbe es uns nicht (Anthropisches Prinzip).

Steven Weinberg hat diese Möglichkeit einmal mit der Frage nach den Planetenbahnen verglichen. In früheren Jahrhunderten glaubte man, die Abstände der Planetenbahnen von der Sonne entsprächen einem höheren göttlichen Gesetz, das es aufzudecken gelte. Heute wissen wir, dass sie einfach nur durch einen Zufall gerade so entstanden sind, wie wir sie vorfinden, und dass andere Sonnensysteme auch andere Planetenabstände aufweisen werden. Es gibt gar kein höheres Gesetz, dass die Planetenabstände festlegt. Es wäre schon etwas desillusionierend, wenn dies auch beispielsweise für die Parameter des Standardmodells gelten würde.

 

• Links: An jedem Punkt des flachen dreidimensionalen Raums sind die übrigen Raumdimensionen der Stringtheorie eng eingerollt. Die Strings können auch in diesen Raumknäuel auf verschiedene Weise schwingen, so dass sie aus der Ferne wie Teilchen mit unterschiedlichen Eigenschaften aussehen.
  Bildquelle: Wikimedia Commins File:KompaktifizierungCalabiYau.gif, Quelle dort: http://www.techfreaq.de/physikStringtheorie.htm sowie http://www.techfreaq.de/physik/kompaktifizierungCalabiYau.gif, Urheber: Nina Hernitschek, dort lizensiert unter der Creative Commons-Lizenz Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 2.5 US-amerikanisch (nicht portiert).

• Rechts: So kann man sich die oben dargestellten Raumknäuel im Detail vorstellen, wobei hier nicht alle eingerollten Raumdimensionen dargestellt sind. Man spricht von einer Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit.
  Bildquelle: Wikimedia Commons File:Calabi-Yau.png, Urheber: Wikipedia-User LUNCH, dort lizensiert unter der Creative Commons-Lizenz Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 2.5 US-amerikanisch (nicht portiert).

Die Frage nach dem Grundprinzip der Stringtheorie:

Anders als die allgemeine Relativitätstheorie oder Eichtheorien basiert die Stringtheorie nicht auf einem allgemeinen Grundprinzip wie beispielsweise dem Äquivalenzprinzip Einsteins oder dem Prinzip der lokalen Eichinvarianz. Sie fußt vielmehr auf einer einfachen Grundidee: Punktförmige Teilchen werden durch winzige eindimensionale Strings ersetzt -- eine naheliegende Idee, denn in jeder lokalen Quantenfeldtheorie der Gravitation führt die Punktförmigkeit von Teilchen zu unüberwindlichen Problemen (fehlende Renormierbarkeit).

Ausgehend von dieser String-Idee versuchte man nun Schritt für Schritt, die Forderungen der Relativitätstheorie und der Quantentheorie konsistent zu berücksichtigen. Die Quanten-Stringtheorie wurde dabei im Laufe mehrerer Jahrzehnte Stück für Stück immer weiter entwickelt, wobei sich langsam ein konsistentes Gesamtgebilde zu formen scheint. Dabei ergeben sich gleichsam nebenbei eine ganze Reihe von Voraussagen und Bedingungen, die erfüllt sein müssen: Gravitation, zusätzliche Raumdimensionen, Supersymmetrie. Keine andere Theorie kann das in diesem Maße und erzwingt eine bestimmte Anzahl an Raumdimensionen, erzwingt die allgemeine Relativitätstheorie als Grenzfall und erzwingt die Existenz der Supersymmetrie (siehe auch oben).

Bis heute kennt aber niemand das Grundprinzip, auf dem dieses Gebäude ruht (es muss mehr sein als nur die einfache Grundidee der Strings). Es ist eine der großen Herausforderungen der Physik dieses Jahrhunderts, dieses Grundprinzip zu finden.

Irgendwie muss dieses Grundprinzip etwas mit den zwei Unschärfen zu tun haben, die die Basis der Stringtheorie bilden: die Quantenunschärfe und die Stringunschärfe. Hier ist mehr dazu:

Quanten- plus String-Unschärfe -- die Basis der M-Theorie:

Die Stringtheorie enthält nur einen einzigen freien Parameter: die Stringspannung T. Ihr Wert ergibt sich aus der Forderung, dass sich im klassischen Niederenergie-Grenzfall u.a. Newtons Gravitationsgesetz mit der richtigen Gravitationskonstanten G ergeben muss. T ist also durch G festgelegt. Mit Hilfe von h_q und c kann man T in eine andere Größe α' (siehe Witten sowie unten) umrechnen, die ungefähr den Wert   α'   =   (10⁻³² cm)²   besitzt, also grob ungefähr das Quadrat der Plancklänge l_p . Die Stringgröße liegt typischerweise genau in dieser Größenordnung von 10⁻³² cm.

Für die heute experimentell erreichbaren Energien sind Strings praktisch punktförmig wie Teilchen. Der Parameter α' führt allerdings bei sehr kleinen Längenskalen zu einer Art von räumlicher Unschärfe: es gibt keine punktförmigen Teilchen mehr. Im Buchkapitel hatten wir ein Beispiel für diese räumliche Unschärfe gesehen: rollt man eine Raumdimension kleiner als etwa α' ein, so ist die Stringtheorie dual zu einer Stringtheorie mit einer eingerollten Raumdimension oberhalb von α'. In diesem Sinn ist α' die Unschärfe des Raums selbst -- kleinere Längenskalen sind physikalisch bedeutungslos.

Die Situation weist eine gewisse Ähnlichkeit mit der quantenmechanischen Unschärferelation auf, deren Größe durch das Planck'sche Wirkungsquantum h_q gegeben ist:   Δp Δx   >   h_q   (den relativ unwichtigen Faktor 1/2 lassen wir bei der folgenden eher qualitativen Diskussion einfach weg). Freigestellt nach Δx haben wir   Δx   >   h_q / Δp   . Bei sehr großen Impulsunschärfen (also auch großen Impulsen) erreicht man so sehr kleine Ortsunschärfen, also sehr kleine Wellenpakete.

In der Stringtheorie kommt eine zweite Ortsunschärfe hinzu: Bei sehr großen Impulsen (und Energien) wachsen die Strings, und man sieht keine kleineren Abstände mehr, sondern größere Strings. Qualitativ sieht die Unschärferelation dann ungefähr so aus:

  Δx   >   h_q / Δp   +   α' Δp / h_q

(siehe Edward Witten: Reflections on the fate of spacetime). Zu ähnlichen Ergebissen sind wir in Buchkapitel 8.1 gekommen, also wir uns Gedanken über die maximal mögliche Genauigkeit einer Ortsmessung gemacht haben.

Es gibt also in der Stringtheorie zwei Quellen für die Orstunschärfe: Quanteneffekte und damit h_q sowie Stringgrößen und damit α'. Die Quantenunschärfe (also das Wellenpaket) kann man bei sehr großen Impulsunschärfen sehr klein machen, aber irgendwann wird der String größer als das Wellenpaket.

Historisch wurde die Stringtheorie so entwickelt: Erst wurde α' eingeführt, d.h. punktförmige Teilchen wurden durch Strings ersetzt, so dass diese Form der Unschärfe der Startpunkt ist. Man kann damit entsprechende klassische Stringtheorien formulieren (also ein sogenanntes Wirkungsfunktional und entsprechende klassische Bewegungsgleichungen für Strings, siehe unten). Aufbauend auf dieser klassischen Stringtheorie formuliert man entsprechende Quantentheorien, d.h. man führt h_q und die zugehörige Quantenunschärfe ein. Es ergeben sich dadurch zunächst fünf scheinbar verschiedene Quanten-Stringtheorien (siehe Buchkapitel).

Nun stellte sich heraus, dass diese Quanten-Stringtheorien über Dualitäten (ein Quanten-Phänomen) miteinander verbunden sind, also nur verschiedene Grenzfälle einer einzigen Quanten-Stringtheorie darstellen -- die sogenannte M-Theorie. Die M-Theorie selbst ist über den gerade beschriebenen Weg (erst Stringunschärfe, dann Quantenunschärfe) aber bisher nicht konstuierbar. Um sie zu formulieren, muss man vermutlich zugleich beide Unschärfen h_q und α' berücksichtigen (also nicht nacheinander). Man kann nicht erst eine klassische Stringtheorie mit α' und danach eine quantisierte Version davon mit h_q konstruieren -- das ergibt die fünf Grenzfälle. Die Dualitäten, die diese fünf Grenzfälle miteinander verbinden, mischen die beiden Unschärfen α' und h_q in einer vollkommen neuen Weise, die man in der sonst bekannten Physik so nicht kennt (siehe Edward Witten: Reflections on the fate of spacetime). Daher muss man offenbar direkt über eine Quantentheorie nachdenken, die beide Unschärfen enthält und die diese Dualitäten als Symmetrieprinzip enthält. Wer weiß -- vielleicht ergibt sich so letztlich auch ein tieferes Verständnis der Quantentheorie, deren physikalische Interpretation immer noch ihre Schwierigkeiten aufweist. Womöglich ergeben erst beide Unschärfen (Quanten- sowie String-Unschärfe) gemeinsam ein konsistentes Gesamtbild. Dieses Gesamtbild zu finden ist die große Herausforderung für das einundzwanzigste Jahrhundert!

In Witten: Magic, Mystery, and Matrix findet man noch folgende interessante Sichtweise:

Die Quantenunschärfe, also die Ersetzung von Teilchenbahnen durch Wellenpakete, konnte in der nichtrelativistischen Quantenmechanik die Instabilität des Wasserstoffatoms verhindern (klassisch würde ja das Elektron in das Proton stürzen, siehe Buchkapitel 2.1 ).

Nimmt man die spezielle Relativitätstheorie hinzu, so entsteht das Problem der Unendlichkeiten in Feynmangrafen mit inneren Schleifen. Dieses Problem hat seine Ursache in der Berücksichtigung sehr großer Impulse in den Schleifen. Man kann es auch anders ausdrücken: Das Problem entsteht dadurch, dass die verschiedenen Vertices einer Schleife am selben Raumzeitpunkt liegen können. Letztlich liegt die Ursache also darin, dass zwei punktförmige Teilchen in der Quantenfeldtheorie sich beliebig nahe sein können. Die Quantenunschärfe hilft hier nur insofern, dass man das Problem bei den Wechselwirkungen des Standardmodells durch das Renormierungsverfahren umgehen kann.

Nimmt man weiter die Gravitation hinzu, so funktioniert das Renormierungsverfahren nicht mehr. Die Nichtlinearität der Einsteinschen Feldgleichungen verhindert den Aufbau einer renormierbaren Quantenfeldtheorie mit punktförmigen Teilchen und Feldquanten (Gravitonen). Die Quantenunschärfe ist hier mit ihren Möglichkeiten am Ende. Nimmt man jedoch die Stringunschärfe hinzu, ersetzt also punktförmige Teilchen durch Strings, so gelingt die Quantenbeschreibung der Gravitation. Beide Unschärfen sind also notwendig, will man zu einer grundlegenden Theorie der Natur inclusive Gravitation vordringen.

Links: Die Quantenfeldtheorie betrachtet Teilchen als Punktförmig, so dass sie in Feynmangraphen durch Linien dargestellt werden (die Zeit läuft nach oben). An den punktförmigen Vertices können dabei andere Teilchen ankoppeln, entstehen und vergehen. Dabei bestimmt ein freier dimensionsloser Parameter, die Ladung oder Kopplungskonstante, wie groß die Wahrscheinlichkeit für diesen Vorgang ist.
Rechts: In der Stringtheorie bewegen sich eindimensionale Strings durch den Raum. In der Grafik ist ein geschlossener String (eine Schlaufe) gezeigt, wobei die Zeit wieder nach oben fortschreitet. Dabei entsteht eine zweite Stringschlaufe, indem sich die ursprüngliche Stringschlaufe in der Mitte einschnürt und teilt. Es gibt dabei keinen punktförmigen Vertex, so dass die in der Raumzeit durchlaufene Fläche vollkommen glatt ist. Man sagt auch, das Feynmandiagramm wird geglättet (engl. smoothed out). Daher braucht man auch keine Kopplungskonstante, sondern die Dynamik des Strings selbst (also speziell die Stringspannung) legt den Ablauf vollkommen fest.
Bildquelle: Wikimedia Commons File:World lines and world sheet.svg, dort gemeinfrei

Hier ist ein schönes Beispiel, was für Auswirkungen Quanten- plus String-Unschärfe gemeinsam haben können (siehe Witten: Magic, Mystery, and Matrix):

Welche Topologie hat die Raumzeit? Sobald man die Stringunschärfe hinzunimmt, verliert diese Frage in der Quanten-Stringtheorie zum Teil ihren Sinn, denn die Stringunschärfe verschmiert die klassische Geometrie der Raumzeit. Es gibt zwar durchaus Stringkonfigurationen, für die eine bestimmte Raumzeitgeometrie eine gute Näherung darstellt -- diese Stringkonfigurationen besitzen räumlich und zeitlich große Ausdehnungen, so dass die winzigen Strings keine Rolle mehr spielen und der Grenzfall sehr kleiner α' Sinn macht. Solche Raumzeiten können aber im Lauf der Zeit schrumpfen, so dass Quanten- und Stringunschärfe wichtig werden. Später können sie wieder anwachsen, so dass nun eine andere Raumzeitgeometrie eine gute Näherung ist, womöglich sogar mit anderer Topologie. Man spricht auch von Topologie-Übergängen. Irgendwo zwischen diesen beiden Raumzeit-Geometrien gibt es String-Zwischenzustände, die keiner scharfen Raumzeit-Geometrie mehr entsprechen und für die der Grenzfall sehr kleiner α' keinen Sinn mehr macht.

Ähnlich ist es mit den 5 verschiedenen Stringtheorien, die man zunächst entdeckt hatte. Ohne die Quantenunschärfe sind sie verschieden, aber wenn Quanten- und Stringunschärfe beide berücksichtigt werden, so kann man zwischen ihnen mit Hilfe der Dualitäten interpolieren. Hier haben wir wieder die doppelt-unscharfe Zwischenregion, die es zu verstehen gilt.

Fazit: So wie die Quantenunschärfe Teilchenbahnen unscharf macht, so macht die Stringunschärfe die Raumzeit selbst unscharf. Die mathematische Struktur dieser doppelt-unscharfen Raumzeit (Quanten- plus String-Unschärfe) gilt es in der M-Theorie zu erfassen.

Die mathematische Basis der Stringtheorie als Quantentheorie:
(für Leser mit mathematisch-physikalischen Vorkenntnissen)

Auch wenn man die Bedeutung der beiden Unschärfen (siehe oben) noch nicht voll erfasst hat, so gibt es dennoch mächtige mathematische Werkzeuge, mit denen sich String- und M-Theorie erforschen lassen. Ein zentrales Werkzeug ist dabei die zweidimensionale konforme Quantenfeldtheorie.

Wie kommt man darauf? Ausgangspunkt ist die Pfadintegral-Formulierung der Quantentheorie nach Richard Feynman. Demnach ordnet man jeder denkbaren klassischen Stringkonfiguration (Stringflugbahn in der Raumzeit) eine Amplitude   e^{i S / h_q}   zu und summiert (integriert) dann diese Amplituden über alle relevanten klassischen Stringkonfigurationen auf (siehe Zusatzinfos zu Kapitel 5.5 ). Dabei ist S die sogenannte Wirkung der Stringkonfiguration.

Die Wirkung eines Strings, der sich im Lauf der Zeit auf bestimmte Weise durch den Raum bewegt, ergibt sich als Verallgemeinerung der Wirkung eines punktförmigen Teilchens aus der allgemeinen Relativitätstheorie. Bis auf den Vorfaktor   − mc²   (m = Teilchenmasse) ist diese Wirkung gleich der Eigenzeit τ, die das Teilchen während seiner Bewegung verstreichen sieht:   S   =   − mc² ∫ dτ   , wobei das Integral über die Bahn des Teilchens in der Raumzeit geht. In der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie nimmt das Teilchen zwischen zwei Raumzeitpunkten immer diejenige Bahn mit der größten Eigenzeit (entsprechend dem klassischen Prinzip der kleinsten Wirkung). In der Quantentheorie trägt dagegen jede mathematisch mögliche Bahn eine Amplitude   e^{i S / h_q}   zur Gesamtamplitude bei.

In der Stringtheorie verallgemeinert man dies nun: An die Stelle der Teilchen-Ruheenergie mc² tritt für jedes kleine Stringstück dessen Ruheenergie   T ds   , wobei T die Stringspannung (Energie pro Länge) und ds die Bogenlänge des Stringstücks ist:   S   =   − T ∫ ds dτ   . Dabei wird über die Fläche integriert, die der String in der Raumzeit überstreicht.

Man kann die Stringspannung T (Energie pro Stringlänge) noch in die von Witten verwendete Konstante α' (Dimension: Länge²) umrechnen:   T   =:   h_qc / α'   . Das ergibt:
  S   =   − T ∫ ds dτ   =   − h_qc / α'   ∫ ds dτ   =   − h_q/α'   ∫ ds cdτ
Diese Wirkung kann man noch weiter umformulieren. Mehr dazu siehe auch in Die Symmetrie der Naturgesetze, Kapitel 6.2: Stringtheorie. Witten gibt schließlich in Reflections on the fate of spacetime folgende Formel an:

S   =   − hq/(2α')   ∫   dσ2   ∑μνk   gμν   dxμ/dσk   dxν/dσk

Dabei liefern die Raumzeitkoordinaten-Funktionen   x^μ(σ₁,σ₂)   eine Parametrisierung der Stringfläche, die der String in der Raumzeit durchläuft,   σ₁ = c τ   und   σ₂ = s   sind die beiden entsprechenden rellen Parameter (Eigenzeit und Bogenlänge),   dσ²   =   dσ₁ dσ₂   ist das Flächenelement auf der Stringfläche und   g_μν   ist die relativistische Raumzeitmetrik. Das Integral läuft über gesamte Stringfläche in der Raumzeit. Im Integral steht also letztlich die Summe der Raumzeitmetriken der beiden Tangentialvektoren an der Stringfläche.

Vergleicht man diese Wirkung mit den entsprechenden Formeln in der QED, QCD etc., so findet man dort anstelle der Stringkoordinaten σ₁ und σ₂ die 4 Raumzeitkoordinaten und anstelle der Stringparametrisierung   x^μ(σ₁,σ₂)   die Felder (z.B. die elektromagnetischen Felder). Umgekehrt kann man die obige Wirkung daher auch als die Wirkung einer Feldtheorie interpretieren, welche die Felder   x^μ(σ₁,σ₂)   in einem zweidimensionalen Raum mit Koordinaten σ₁ und σ₂ beschreibt. In diesem Sinne entsteht in der Stringtheorie eine zweidimensionale Quantenfeldtheorie mit besonderen Eigenschaften, die sich nun mit den etablierten Standardwerkzeugen untersuchen lassen, die man aus der Quantenfeldtheorie kennt.

Die dynamischen Größen in dieser zweidimensionalen Feldtheorie sind die Felder   x^μ(σ₁,σ₂)   , die ihren Ursprung in der Stringfläche in der Raumzeit haben. Eigenschaften dieser Raumzeit übertragen sich daher in bestimmte Eigenschaften der zweidimensionalen Feldtheorie. So kann in der obigen Formel die metrische Matrix g_μν auch die gekrümmte Raumzeit der allgemeinen Relativitätstheorie repräsentieren und so eine zweidimensionale Quantenfeldtheorie festlegen. Man braucht nun nur noch diese zweidimensionale Quantenfeldtheorie, um beispielsweise String-Feynmangraphen zu berechnen -- die ursprüngliche gekrümmte Raumzeit spielt keine direkte Rolle mehr, und man kann sagen, dass sie in diesem Sinne für die weitere Theorie überflüssig geworden ist.

Während man in der üblichen Quantenfeldtheorie über die Raumzeit und die darin enthaltenen Felder spricht, so befasst man sich in der Quanten-Stringtheorie nur noch mit der zweidimensionalen Quantenfeldtheorie, die diese Raumzeitinformation gleichsam verschlüsselt enthält. So werden beispielsweise die Einstein-Gleichungen, die die Dynamik der Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie bestimmen, in der zweidimensionalen Quantenfeldtheorie durch die sogenannte konforme Invarianz repräsentiert (diese sagt aus, dass die Längenskala entlang des Strings frei verändert werden kann). Zwei verschiedene Raumzeiten können sogar zur selben zweidimensionalen Quantenfeldtheorie führen und sind damit nach Einschalten der Quanten- plus Stringunschärfe nicht mehr unterscheidbar. Wir hatten dieses Phänomen bereits weiter oben angesprochen (Stichwort Topologie-Übergänge), man kann aber auch an die im Buchkapitel angesprochene T-Dualität denken. Mehr dazu siehe Edward Witten: Reflections on the fate of spacetime.

Supersymmetrie:
(für Leser mit mathematisch-physikalischen Vorkenntnissen)

Am Schluss noch eine Anmerkung zur Supersymmetrie. Wie passt diese in den obigen Rahmen? Ganz einfach: Man muss neben den bosonischen Felder   x^μ(σ₁,σ₂)   auch fermionische Felder   ψ^μ(σ₁,σ₂)   in die Wirkung mit einbauen, und zwar so, dass sich eine Symmetrie beim Austausch von bosonischen und fermionischen Feldern ergibt. Der mathematische Unterschied zwischen diesen beiden Feldtypen besteht darin, dass sich in einem Produkt zwei bosonische Felder wie gewohnt einfach vertauschen lassen, während das Vertauschen zweier fermionischer Felder einen Vorzeichenwechsel bewirkt (man denke an das Pauli-Prinzip für Fermionen). Mathematisch hat man es daher mit einer sogenannten Grassmann-Algebra zu tun, die den Begriff der Multiplikation passend erweitert. Da die bosonischen Felder x^μ ihren Ursprung in den Raumzeitkoordinaten des Strings hatten, kann man umgekehrt die Einführung der fermionischen Felder ψ^μ so interpretieren, als hätte man den üblichen Raumzeitkoordinaten formal weitere sogenannte Grassmann-Koordinaten hinzugefügt. Supersymmetrie operiert nun in diesem erweiterten Raum aus Raumzeit- und Grassmann-Koordinaten.

Weitere Informationen zur Supersymmetrie findet man in Die Symmetrie der Naturgesetze, Kapitel 6.1: Supersymmetrie.

Weitere Informationen zur Stringtheorie findet man in Die Symmetrie der Naturgesetze, Kapitel 6.2: Stringtheorie.

Literatur:

• Brian Greene: Das elegante Universum - Dieses Buch stellt den Werdegang der Stringtheorie und die neuesten Entwicklungen bis zur M-Theorie in sehr unterhaltsamer und zugleich kompetenter Weise dar. Wer sich für die M-Theorie interessiert und ein gut lesbares populärwissenschaftliches Buch dazu sucht: dieses wäre die erste Wahl! Im Internet gibt es dazu unter http://www.pbs.org/wgbh/nova/elegant/ und http://www.pbs.org/wgbh/nova/elegant/program.html die Videoreihe Watch The Elegant Universe (3 hours).

• Brian Greene: Der Stoff, aus dem der Kosmos ist -- Nachfolger zum eleganten Universum mit dem Schwerpunkt auf der Natur von Raum und Zeit und der Entwicklung des Kosmos.

• Lisa Randall: Verborgene Universen, Fischer Taschenbuch 2008 -- gibt einen guten Überblick über Stringtheorie, Supersymmetrie sowie mögliche zusätzliche Raumdimensionen und ihre potentielle Entdeckung am LHC oder dessen Nachfolgern.

• Welt der Physik: Die Gravitationskraft in einer Welt mit Extra-Dimensionen, http://www.weltderphysik.de/de/4907.php sowie Schwarze Löcher am LHC?, http://www.weltderphysik.de/de/4717.php.

• Wikipedia: Micro Black Hole

• Nima Arkani-Hamed, Savas Dimopoulos, Gia Dvali: The Hierarchy Problem and New Dimensions at a Millimeter, arXiv.org > hep-ph > arXiv:hep-ph/9803315 -- hier wird die Idee großer Extra-Raumdimensionen und enstprechender schwarzer Mikrolöcher im Detail untersucht.

• Steven Weinberg: Higgs, dark matter and supersymmetry: What the Large Hadron Collider will tell us, Video eines Vortrags von Steven Weinberg (in englischer Sprache) vom November 2009, http://www.youtube.com/watch?v=Zl4W3DYTIKw&feature=related -- ein absolut sehenswerter Vortrag von einem der Mitbegründer des Standardmodells, leider teilweise mit schlechter Tonqualität.

• Edward Witten: String theory and the Universe, 2010 Newton Lecture at the Institute of Physics (IOP, London), im Internet u.a. hier: physicsworld.com: String theory woven in twists and turns sowie unter http://www.iop.org/resources/videos/lectures/page_44292.html.
  Edward Witten gibt hier einen sehr schönen allgemeinverständlichen Überblick über die Entwicklung und die Besonderheiten der Stringtheorie.

• Edward Witten: Unravelling string theory, NATURE, Vol. 438, 22/29 December 2005, http://www.sns.ias.edu/~witten/papers/Unravelling.pdf

• Witten: Magic, Mystery, and Matrix (Notices if the AMS, Oct. 1998, p.1125), http://www.sns.ias.edu/~witten/papers/mmm.pdf

• Edward Witten: Reflections on the fate of spacetime, Physics Today, April 1996, S. 24, http://www.sns.ias.edu/~witten/papers/Reflections.pdf

• Edward Witten: Duality, spacetime and quantum mechanics, Physics Today, May 1997, S. 28, http://www.sns.ias.edu/~witten/papers/duality.pdf

• http://www.techfreaq.de/physikStringtheorie.htm

• Chris Quigg: Weltbild vor dem Umbruch, Spektrum der Wissenschaft, November 2008, S. 12

• Hermann Nicolai: Auf dem Weg zur Physik des 21. Jahrhunderts, Spektrum der Wissenschaft, November 2008, S. 28

• Dieter Lüst: Ist die Stringtheorie noch eine Wissenschaft?, Spektrum der Wissenschaft, Mai 2009, S. 34