Kapitel 5
Die allgemeine Relativitätstheorie

1   Gekrümmte Räume (über die Grundlagen der Differentialgeometrie)

3   Mannigfaltigkeiten

Um von gekrümmten Räumen in Analogie zu gekrümmten zweidimensionalen Flächen sprechen zu können, benötigen wir mehr als nur eine Topologie und den zugehörigen Stetigkeitsbegriff auf dem Raum. Wir benötigen eine weitere Struktur, die es erlaubt, den Begriff der Differenzierbarkeit einzuführen, so dass der Raum eine kontinuierliche Struktur analog zu den reellen Zahlen aufweist. Räume mit dieser kontinuierlichen Struktur bezeichnet man als differenzierbare Mannigfaltigkeiten (wir beschränken uns auf Mannigfaltigkeiten ohne Rand). Anschaulich sehen differenzierbare Mannigfaltigkeiten lokal (also im Kleinen) in gewissem Sinn so aus wie der n-dimensionale reelle Raum Rn. Es gibt nur eine Einschränkung: Längen und Winkel sind auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten noch nicht definiert. Hierzu benötigen wir den Begriff der Metrik, der zu den Riemann'schen Mannigfaltigkeiten führt -- dazu mehr in späteren Kapiteln.

Zunächst einmal starten wir mit einem Topologischen Raum, oder genauer: mit einem Raum, der eine Hausdorff-Topologie besitzt (ohne diese Forderung kommt man nicht aus, siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Manifold ). Punkte in diesem Raum sind aufgrund ihrer Umgebungen unterscheidbar (sehe oben).

Um eine kontinuierliche Struktur im Raum konstruieren zu können, fordern wir vom betrachteten Raum, dass es lokale reelle Koordinatensysteme (auch Karten genannt) auf diesem Raum gibt. Nur solche Räume, bei denen das möglich ist, werden wir weiter betrachten.

Ein Beispiel für ein solches Koordinatensystem liefern Karten der Erdoberfläche. Teile der Erdoberfläche sind dabei in einem Atlas auf verschiedenen Karten abbilden. Allerdings schafft man es nicht, die komplette Erdoberfläche auf einer einzigen flachen Karte abzubilden, ohne irgendwo Schnitte vorzunehmen. Ein bekanntes Koordinatensystem auf der Erdoberfläche liefern die Längen- und Breitengrade. Lediglich an Nord- und Südpol verliert die Längengrad-Koordinate ihren Sinn, d.h. auch hier braucht man noch ein weiteres Koordinatensystem, um diesen Mangel auszugleichen. Das folgende Bild zeigt, wie Längen- und Breitengrade eine Kugel mit einem Koordinaten-Gitter überziehen:



Präzisieren wir, was wir unter Koordinaten auf dem Raum M verstehen wollen:

  • lokale Koordinaten (Karten):

    Im Raum M (mit Hausdorff-Topologie) lassen sich überall lokale Koordinaten einführen, wenn folgendes gilt:

    Jeder Punkt p des Raums M hat eine offene Umgebung U(p), die homöomorph (d.h. bijektiv stetig abbildbar) zu einer offenen Teilmenge V des n-dimensionalen reellen Raums Rn ist. Was im Rn eine offene Teilmenge ist, haben wir weiter oben bereits mit Hilfe der Kugelmengen B(p,r) definiert.

    Präzise bedeutet homöomorph, dass es zu der offenen Umgebung U(p) eine bijektive stetige Funktion f gibt, die jedem Punkt q dieser Umgebung eindeutig einen Punkt   x = f(q)   in Rn (genauer: in V ) zuordnet und umgekehrt. Der Bildpunkt x in Rn liefert dabei die n Koordinaten des betrachteten Punktes q bezüglich der durch f definierten Karte. Weiterhin soll auch die Umkehrfunktion f -1 stetig sein. Den Begriff der Stetigkeit hatten wir im letzten Kapitel bereits mit Hilfe der Topologie definiert (d.h. Urbilder offener Mengen müssen offen sein).

In dieser Definition ist von Differenzierbarkeit noch nicht die Rede. Man spricht daher von topologischen Mannigfaltigkeiten. Der Teilbereich Topologie der Mathematik beschäftigt sich mit denjenigen Eigenschaften solcher Mannigfaltigkeiten, die bei homöomorphen Abbildungen unverändert bleiben, und versucht so, die verschiedenen topologischen Räume zu klassifizieren. In diesem Sinn ist beispielsweise eine Würfeloberfläche homöomorph zu einer Kugeloberfläche, da sich beide Flächen stetig ineinander transformieren lassen. Die Kanten des Würfels stören dabei nicht, da wir noch nicht von Differenzierbarkeit gesprochen haben.


Differenzierbarkeit:

In den meisten Fällen benötigt man mehrere Karten, um alle Punkte eines Raumes mit Koordinaten versehen zu können. Schon bei der Erdoberfläche war es unmöglich, eine einzige Karte zu verwenden, die die obigen Bedingungen erfüllt. Außerdem gibt es i.a. viele verschiedene Möglichkeiten, um Koordinaten in Teilgebieten der Mannigfaltigkeit einzuführen. Eine naheliegende Forderung besagt daher: Die Karten müssen miteinander verträglich sein.

An dieser Stelle kommt nun die Differenzierbarkeit ins Spiel, denn wir wollen unter Verträglichkeit von Karten folgendes verstehen:

Wir betrachten zwei stetige bijektive Karten (Funktionen) f1 und f2, die Koordinaten für zwei Teilmengen U1 und U2 des betrachteten Raums zur Verfügung stellen. Wenn diese beiden Teilmengen überlappen, so liefert die Verkettung   f1 ο f2-1   eine Abbildung zwischen offenen Teilmengen des n-dimensionalen reellen Raums. Diese Abbildung rechnet die Koordinaten eines Punktes im Überlappungsbereich von f2 -Koordinaten in f1 -Koordinaten um. Verträglichkeit bedeutet nun, dass   f1 ο f2-1   sowie   f2 ο f1-1   beliebig oft differenzierbar sind. Damit vermeidet man, dass irgendwelche Knicke in den Koordinatensystemen entstehen, wenn man von einem Koordinatensystem in ein anderes umrechnet. Eine differenzierbare Kurve auf der Mannigfaltigkeit wird in beiden Koordinatensystemen ohne Knicke erscheinen.

Mit Hilfe der lokalen Koordinatensysteme können wir nun präzisieren, was wir unter einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit verstehen wollen:

  • differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand):
    Eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) ist ein Hausdorff-Raum (d.h. Punkte in diesem Raum sind aufgrund ihrer Umgebungen unterscheidbar, siehe oben), bei dem jeder Punkt p des Raums eine offene Umgebung U(p) besitzt, die homöomorph zu einer offenen Teilmenge V des Rn ist. Die Karten (Funktionen), die diese Abbildungen vornehmen, müssen untereinander verträglich sein (d.h. Kartenwechsel sind differenzierbare Funktionen im Koordinatenraum).

In der Literatur findet man hier noch Verfeinerungen dieser Definition. Beispielsweise fordert man noch das zweite Abzählbarkeitsaxiom, d.h. eine abzählbare Anzahl von Karten soll ausreichen, um die komplette Mannigfaltigkeit mit Koordinaten zu versorgen -- wir wollen darauf hier nicht näher eingehen.

Man kann sich die obige Definition einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit auch so veranschaulinen (wir hatten dies weiter oben bereits erwähnt):

Analog sieht die Erdoberfläche im Kleinen aus wie die zweidimensionale euklidische Ebene R2 -- nicht umsonst haben wir Menschen die Erde lange für eine flache Scheibe gehalten. Andere Beispiele für Mannigfaltigkeiten sind die n-dimensionale Kugeloberfläche Sn oder die physikalische Raumzeit. Allgemein sind n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeiten die mathematische Präzisierung des anschaulichen Begriffs n-dimensionaler (evtl. in sich gekrümmter) reeller Raum. Den Begriff der Krümmung werden wir etwas später noch genau definieren, denn dafür ist wiederum mehr als nur Differenzierbarkeit erforderlich. Wir reden also bisher noch nicht über Dinge wie Abstände, Winkel oder Krümmungen. Insofern kann die obige Anschauung, dass eine Mannigfaltigkeit lokal wie der Rn aussieht, etwas verwirrend sein. Sie bedeutet nur, dass wir lokal jeweils n reelle Koordinaten haben, und dass Koordinatenwechsel differenzierbar sein müssen.


Bemerkungen zur Klassifizierung von Mannigfaltigkeiten:

Mannigfaltigkeiten kann man beispielsweise in dieselbe Gruppe (Klasse) einordnen, wenn sie stetig ineinander überführbar sind (also homöomorph zueinander sind, wie z.B. Kugeloberfläche und Würfeloberfläche). Für differenzierbare Mannigfaltigkeiten kann man noch feinere Klassen bilden, indem man verlangt, dass sie differenzierbar ineinander überführbar sind (also diffeomorph zueinander sind, wie z.B. Kugeloberfläche und eine Ei-Oberfläche). Beim Vergleich dieser beiden Klasseneinteilungen hat man einige interessante und kuriose Ergebnisse gefunden (siehe z.B. http://www-user.tu-chemnitz.de/~wend/Skripte/diffmfgk.pdf ):

Man sieht also, wie kompliziert das Verhalten von Mannigfaltigkeiten sein kann. Besonders komplex sind dabei die vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten. Man sagt auch (siehe z.B. http://www-user.tu-chemnitz.de/~wend/Skripte/diffmfgk.pdf ):

Für mehr Informationen zur Klassifizierung von Mannigfaltigkeiten und zur sogenannten Poincare-Vermutung siehe Die Grenzen der Berechenbarkeit, Kapitel 5.3 Die 3-Sphäre und die Poincaré-Vermutung .


Literatur zu dem Thema:


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last modified on 19 December 2008