Kapitel 4
Die Quantentheorie

14  Spin 1, Vektorfelder und Eichsymmetrie

Bei Spin 1/2 war unsere Vorgehensweise im vorherigen Kapitel ja recht erfolgreich. So ergaben sich Dirac- und Weyl-Gleichung fast nebenbei! Kann man das Vorgehen auch bei Spin 1 anwenden?

Man kann! Allerdings werden die Berechnungen dazu recht aufwändig, so dass ich auf die Details hier verzichten möchte und nur einige Anmerkungen machen will.

Eine detaillierte Berechnung zu Spin 1 habe ich im Internet in A boost to Maxwell equations... sowie in D. V. Ahluwalia, M. B. Johnson, T. Goldman: (J,0)+(0,j) Representation Space: Dirac-Like Construct gefunden. Die Rechnung verläuft in vielen Aspekten analog zu unserer Rechnung aus dem vorherigen Kapitel. An die Stelle der beiden Fundamentaldarstellungen   (1/2, 0)   und   (0, 1/2)   treten die beiden Darstellungen   (1, 0)   und   (0, 1)   mit den zugehörigen Feldern   ΦL   und   ΦR   (statt ξ und η). Bei Drehungen verhalten sich diese Felder identisch zueinander, d.h. sie werden mit der Drehmatrix zu Spin 1 multipliziert. Bei Boosts dagegen verhalten sich die beiden Felder verschieden, so wie wir das von ξ und η ja schon kennen. Die entsprechenden D-Matrizen können wir mit den Ergebnissen aus Kapitel 4.10 ermitteln. Sie ergeben sich als analytische Fortsetzung der D-Matrizen, die wir von der Drehgruppe für Spin 1 her kennen.

So wie wir im vorherigen Kapitel die Diracgleichung hergeleitet haben, werden in den obigen Referenzen bei Spin 1 analoge Gleichungen für den 6-komponentigen Spinor   Φ = (ΦR, ΦL)   hergeleitet. Anschließend werden die Felder E und B über

  ΦL   =:   E + i B
  ΦR   =:   E − i B

definiert. Auch die Potentiale werden mit Hilfe von ΦR und ΦL definiert. Die Dirac-artige Gleichung für   Φ = (ΦR, ΦL)   lässt sich damit so umschreiben, dass im masselosen Fall die freien Maxwell-Gleichungen entstehen. Dazu passt gut folgende Bemerkung aus Steven Weinberg The Quantum Theory of Fields, Vol. 1, Chapter 5.6 (Seite 232): Die Darstellung   (1, 0) + (0, 1)   (also unser 6er-Spinor   Φ = (ΦR, ΦL)   ) entspricht der Darstellung durch einen antisymmetrischen 4-mal-4-Tensor   Fμν   zusammen mit einer Dualitätsbedingung. Das elektromagnetische Feld wird in der relativistischen Formulierung gerade durch so einen Feldstärke-Tensor repräsentiert (siehe Die Grenzen der Berechenbarkeit, Kapitel 5.4.4 ).

Aus den Feldern ΦR und ΦL lässt sich also ein antisymmetrischer 4-mal-4-Tensor   Fμν   konstruieren. Der masselose Grenzfall ist hier problemlos möglich. Weinberg zeigt in seinem Buch, dass sich aus ΦR und ΦL aber kein masseloses Vektorfeld   Aμ   konstruieren lässt. Dem entspricht die Tatsache, dass in der Elektrodynamik das Vektorpotential   Aμ   eine Eichfreiheit zulässt, so dass man beispielsweise bei Abwesenheit elektrischer Ladungen und Ströme immer   A0 = 0   erreichen kann, und zwar in jedem Bezugssystem (die sogenannte Strahlungseichung, siehe Die Grenzen der Berechenbarkeit, Kapitel 5.4.4 ). Ein Objekt   Aμ   , für das immer   A0 = 0   gilt, kann aber kein Vierervektorfeld sein, das sich mit der Lorentzmatrix Λ transformiert.

Ich möchte darauf verzichten, hier näher ins Detail zu gehen. Wer Genaueres wissen möchte, dem möchte ich das oben erwähnte Quantenfeldtheorie-Buch von Steven Weinberg erneut ans Herz legen. Um dem interessierten Leser den Weg in dieses moderne Standardwerk der Quantenfeldtheorie zu erleichtern, werde ich im nächsten Kapitel versuchen, einen Überblick über die wesentlichen Ideen dieses Buches zu geben.


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last modified on 18 Juni 2007